马尔科夫对话：决策交换的指数分布优化方案

博嘉德-范斯路易斯模型的一个主要局限性在于它很少涉及决策的过程。如果涉及某个过程，则假设损失由委员会成员自己“计算”，然后由主席计算权重并确定最优预算方案。实际上在一个正式的委员会中，更可能的情况是，主席通过讨论或对话的方式来选择权重，而不是通过计算。在本节中将探讨基于这样一个对话的过程，并把它作为下文介绍更复杂的决策模型的前奏。

如果假设委员会成员间遭受的损失通过方程14.9决定，对于成员来说一种继续推进的方式，将会是尝试选择反映自己遭受或造成损失的全局性权重。有两种过程可以平均这些总损失，包括他们遭受和造成的损失。第一种是评定所有其他行动者对一个行动者造成损失的重要性。这里，对于i来说，由j引起的任何损失的相对重要性Pij等于

接着假设，行动者从反映他们总损失｛Zi（1）｝的权重的一个初始分布开始。每个行动者j计算出他对另一个行动者i所造成损失的重要性Zi（1）Pij，然后调整他赋予自己的总损失的重要性为

简而言之，行动者计算出对其他行动者造成的总损失，然后决定这部分损失的重要性应该获得的值。在这样一个方案中有一个“公正性”元素。

方程14.15描述的一阶过程是马尔科夫链式的指数分布，如果｛Pij｝非负切不可再分，对方程14.15进行迭代将会得到｛Zj（t）｝，在t的范围内收敛到｛Zj｝。这个范围通过以下稳态方程描述

显然，方程14.16没有对称性，但表示了j把自己的损失等同于他所造成其他所有损失的重要性。与这个方案相关的讨论过程被称为“马尔科夫对话”，在这个背景下，它最早由泰尔（1976）提出。

当行动者i把自己的总损失等同于其他所有行动者通过如下方式在他或她身上造成的损失时，存在一个类似的过程。相比已经介绍过的那个过程，这个过程可能是不那么“自然”，但它是有用的，下文中可以看出来。行动者j对i造成损失的重要性，用j的总造成损失来衡量，即

从权重分布｛Zi（t=1）｝开始，我们开始用以下方程迭代过程(www.xing528.com)

在取值范围内，这个过程可以得出稳态方程

同样形成了一个马尔科夫对话。方程14.16和14.19中包含的过程与最早由弗兰奇（1956）、哈拉里（1959）和阿贝尔森（1979）提出的平均过程是相似的，但最近被作为许多意见汇集模型的基础（Zollman，2012）。在第12章和第13章中，我们也提及了这些过程相互作为对偶。此外，德·格鲁特（1974）提出的用于收集主观概率和它的随机等效的确定型模型，与这里介绍的概念有相近的思路。

两个稳态分布向量Z和不会一定相等，但可以考虑当一个方向上损失的平均与另一个方向上根据Z和相等来进行平均的情况。而后假设两个稳态方程相等，

也可以写为

方程14.21是方程14.13的博嘉德-范斯路易斯边际对称条件的一种形式。实际上，如果损失是矩阵式对称的，那么，∀i，但如果损失矩阵仅仅是边际对称，即，如果

那么从方程14.21中可以很容易得出，∀i。这显然是从方程14.13中得出的，并且把对称损失矩阵的相等权重结果扩展到了边际对称情况。最后，可以把方程14.13中的权重看作与马尔科夫对话中的比率Zi/∑jLij相关。