损失对称”原则：加权损失矩阵的边缘对称性

如果行动者i从执行他或她自己的最优方案而获得效用Ui（ã），显然，行动者可以通过执行行动者j的最优方案，使用方程14.55来计算遭受的损失，但需要注意的是非最优方案aj现在是。那么

其中Lij（a）是i在执行j的方案时遭受的损失。从方程14.9中可以得出，由于方案的执行，最优个体方案的集合得出损失和收益的总结，从而形成矩阵L（a）。

由于行动者i通过j遭受的损失是Lij（a），而行动者j通过i遭受的损失为Lji（a），在某种意义上保证这些损失相等会显得“公平”；即最优损失结构可以限定为

一般而言，方程14.9中的损失不会满足方程14.10中的对称条件，那么选择权重｛wi｝的策略将会是，当这些权重应用到方程14.9的原始损失上时，能够使得得出的损失矩阵尽可能对称。正式地说，权重的选择应该保证

泰尔（1963）为损失矩阵的对称化提供了一个不证自明的解释。

如果个体的偏好权重Ai相同，会出现一个特别的情况，即，如果Ai=Aj，∀i，j。在这种情况下，从方程14.9计算出的L（a）显然是对称的，即L（a）=L（a）T。那么，方程14.10和14.11则表明所有的权重应该都相等，或者写为wi=wj，∀i，j。如果我们假设通常的标准化，也就是wi=1/n，∀i，那么方程14.7可以简写为(www.xing528.com)

换句话说，当每个个体的偏好结构相同时，最优预算方案是个体预算方案的算术平均数。

然而，更普遍的情况是偏好不同，接近方程14.11需要非均匀分布的权重。通常，不可能选择n个权重来满足方程14.11的n（n-1）种情况，所以必须接受近似对称。范登博嘉德和范斯路易斯（1962）提出，加权损失矩阵的边缘对称性是一个合理的折中方法。那么权重的选择需要满足

实际上，通过假设矩阵L（a）的非负性和完全独立性，方程14.13的情况n可以被单独满足。范登博嘉德和范斯路易斯（1962）证明了这种说法，并提供了一种估算权重w的向量的方法。麦克米金（1974）测试了这一过程的不同改进方法。

这个模型最早由范登博嘉德和范斯路易斯（1962）应用于一个三位成员的委员会决策问题中，其中包括为1957年的荷兰制定经济政策。他们把这个模型嵌入一个关于荷兰经济情况的更为综合的计量经济学模型中，并说明了如何把该方法用于确定五个政策工具的最优水平。然而，我们唯一知道的在测试中应用这个模型的案例，是罗斯坎普和麦克米金（1970）的例子。其中，作者尝试预测20世纪60年代的德国西北部小镇，针对8项市政开支的议定预算份额。他们有1966年、1967年和1968年的预算份额，并调查了1967年8个委员会成员关于期望预算的各自偏好。他们把模型按照1967年的偏好结构校准，并且评定模型的预测与1968年的预算份额的接近程度。这个测试有一些局限性，但提供的数据很有用，稍后我们将用于重做科尔曼的模型。这个案例将一并放在后面讨论。