凯梅尼-斯内尔证明展示了当m增大时Aj和Ak之间的差距变小

在方程11.5中，［πjk］是矩阵的极限形式，明显必须存在于收敛过程中。如果在极限中Aj（t+m）=Ak（t+m）=c，j≠k，那么显然，解决方案是由原始要素Ak（t=1）的加权平均数组成的，其中权重wk反映每个要素在最终解决方案中的贡献。方程11.5中提出的推测有很多证明，而且因为这样一个证明对这个方法及其在后续章节中的详尽阐述非常重要，值得详细说明。证明所用的形式最早由凯梅尼和斯内尔（Kemeny and Snell，1960）提出，而它的普及则是由于他们的阐述。

本质上，这个证明展示了当m变大时，Aj（t+m）与Ak（t+m）之间的差别变小。首先，让我们定义xt和yt分别为要素Ak（t），k=1，2，…，n的最大值和最小值，并按相似的方法，xt+1和yt+1分别作为要素Ak（t+1）的最大值和最小值。为了方便证明，我们重新排列Ak（t）以及关联矩阵［pjk］，以便A1（t）是最小值yt，而An（t）是最大值xt。接下来，我们定义一个要素集Aj，其中A1=y，Ak=xt，k≠1。那么，从这些定义中，可以明显地看出

从方程11.8中，右侧可以扩充并重新排列为

当pj1≥ε时，ε是矩阵［pjk］的最小元素，那么

因此，使用方程11.8

一个类似的推理形式，用-yt代表xt，-xt代表yt，则

然后，将方程11.11和11.12组合，得到(www.xing528.com)

方程11.13是一个递推关系，因此它可以展示

因为ε≤1/2，方程11.14的极限收敛为

另外，由于Aj（t+m）和Ak（t+m）之间的区别趋向于0，这个过程在收敛，而对于所有j来说Aj（t+m）=c。因此方程11.5中的推理被证明为

然而，从马尔科夫过程的观点来看，同样重要的是矩阵的表现，而这同样可以从证明来解决。假设Ak（t）=0，k=1，2，…，n-1，而An（t）=1，那么，由方程11.16可以看出中第n列的每个单元都是常数。重复输入Ak（t）=1，k任意，那么由于每列的单元是常数，则每一行必须相等。可以写为

在方程11.17中，是一个随机矩阵，它表明

因此wk是真正意义上的权重，并反映了最终解决方案中每个要素的相对重要性。