层级体系与网格：以亚历山大理论为基础的设计分析方法

层级体系的结构是复杂系统逐渐演变的内在方法，这是我们在全书中一直在强调的。在第5章中，我们已经探索了层级体系在城市如何在空间中自组织扮演的角色，但在这里，我们将改变思路，说明层级体系对我们可以建立系统并设计城市的过程来说有多重要。在第1章中，我们详细介绍了西蒙（1962，1969）关于两个瑞士手表制造商霍拉和丹普斯的代表性案例，这两个制造商制造一样的手表，但霍拉以分层的方式发明了部件，而丹普斯整体制造他的手表。然而，这个故事的寓意是分层方法在嘈杂的环境中胜出，因为它在嘈杂的环境中较为稳固，包含了进化的内涵，即要在简单结构上构建更为复杂的结构，必须使用某种类型的模块化设计。

这就意味着层级体系。对于检验一系列影响设计的要素来说，很重要的一点是检验它们之间的关系结构，并考虑它们是否能够被分解并按部件分组。接下来，就可以把问题分解为不同阶段，并首先处理在问题的层级结构中相近的要素。总之，层级体系与寻解过程中各种因素被考虑的次序密切相关，这与上一部分中介绍的方法有很大不同，在前面的方法中虽然各种因素被依照权重赋予了不同的重要度，但对其进行综合并不需要考虑任务次序。

西蒙（1962，1969）提出了一种“设计的生成”的层级理论。他认为复杂的建筑可以从模块化建造的基础生成。亚历山大（1964）发展了这一理论并提出，应当对设计问题展开正式的分析并明确各自问题的层级，先通过分析过程将问题分解为子问题，通过提出子问题方案再按层级体系重新组合得出综合方案。总之，亚历山大（1964）提出了一个层级方法，在这个方法中，问题被分解为子问题，随后这些子问题按照给定的层级顺序重新综合，但表达为一系列部分方案或子解决方案，最终生成一个“最优”解决方案或设计。

亚历山大对于通过构建一个层级体系把设计要素重新分类的想法，可以通过将图或其矩阵分解为一个分层的子集来实现，最底层是关系最接近的相关子集。如果这些子集被定义为强冲突要素构成层级体系中的最基本层，即我们目前为止所做的，这个层级体系可以被作为展示（自下而上）解决子问题顺序的结构。这个综合的顺序让设计者在最基本层解决冲突最强烈以及最困难的子问题，这样可以让设计者关注设计作为得到最佳折中方案的方法的真正目的。然而，所有的这些取决于设计者如何构建问题，以及设计的真正目的是什么。如果最困难的子问题被首先解决，则意味着图中应该包含连通最不相关的要素或具有最大负相关的要素的连接。这与我们在前面的章节中说明关系的方法基本上相反，当我们生成网络时，关注的是那些在空间上连通性最高的要素。设计者可能也采用这个假设，其中，那些关联度最高的要素解决起来最简单，而且在某种程度上互相复制。因此首先协调它们，而当设计者继续协调更高层级上的子问题时，问题越来越难而不是越来越简单，因为最简单的问题首先解决了。这反驳了亚历山大（1964）的观点，但它表明了设计问题需要仔细考虑，针对哪些方面解决了什么问题。正如我们将看到的，会有方法超越为了协调竞争和冲突要素而提炼结构的方法，并避免了这个问题。

假设我们处理图10.4中展示的图，我们将提出两种方法。两种方法都首先把联系（和冲突）最紧密的要素合并，并形成层级体系，其中最强相关的要素在解决方案中最终综合在一起。确实有上百种可用的技术，可以把一系列成对关系分解为层级系统或从这类关系中建立层级系统。然而，这些方法中的大多数取决于通过连续变量说明的成对关系，而不是前面部分描述的二进制形式。比如在第3章中，我们用单联聚类分析来生成差别层级，现在有很多这类方法作为标准软件包可以被获取。这里我们将用两种基本方法，取决于上一部分生成的权重。第一种方法使用之前定义的加权矩阵来构建最大生成树，而第二种方法使用这些权重来建立一个测度在建立层级体系过程中信息丢失的标准。

图10.5　最大生成树以及相关层级体系

一个最大生成树可以被定义为图中没有循环的路径，而且图中任意树拥有最大总距离。这种树将一直有n-1条边，其中n是顶点的总数。寻找最小生成树的一个最早由克鲁斯卡（Kruskal，1956）设计的著名算法，可以很容易地用于寻找最大生成树。这个算法被描述如下：识别任意两个顶点j和k之间最大距离或权重，并记录这条边。然后找到下一个最大的距离并记录这条边，除非已选中的边构成了循环；如果这样则忽略它。按照这种方式继续，直到n-1条边被选中。此时，就形成了最大生成树。用这种算法，权重最大的那对要素首先连接，从而建立了层级体系的第一层。在图10.5中，这个建立层级体系的过程，展示了以图解的方式使用从方程10.19计算出来的权重矩阵［wjk］；这个方法最大的优势是它的简单性，因为它可以人为地应用在很大的问题上，从而与设计者对每个连接集的重要性的持续考虑一致。也许它最大的限制在于，它建立在设计问题局部结构之上，而不是建立在更为通用的“格式塔”概率上。实际上，正如图10.5展示的，很难比较分解所含的顺序以及基于不同线性综合的方法所得到的权重。

另一种用于提取层级体系的方法是基于信息这个概念的，最早由香农和韦弗（Shannon and Weaver，1949）提出，并由泰尔（Theil，1967）拓展应用到包含聚合的问题上。亚历山大和曼海姆（1962b）在他们的高速公路设计问题中，使用了一个相似的基于信息理论考虑的层级分解技术，我们将在下一章中介绍。正如第9章中提到的，任意结构的信息内容或信息熵H可以通过方程10.31来测度，

其中pj是时间j发生的概率，就设计问题中的每个要素而言，是它在要素范围内的相对重要性。我们假设这个概率是基于表10.2中的比较的一个标准权重。如果事件集或要素集随之聚合成一个双层的分集，那么方程10.31可以被分解并写为一个集间熵和一个集内熵的总和：

其中

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分解为L个互相排斥的子集Vl，由下个层级的基本要素聚合而成。实际上，这种分解-聚合可以接连在生成集合的层级过程中发生，直到最后两个聚合的子集合二为一。方程10.33右边的第一个项是集间熵，而第二个项是集内熵。如果概率代表了分解密集连通的要素所包含子解决方案的重要性，那么通过最大化集内熵把要素聚合为子集的过程就是合适的。最大化熵的一个特别的启发是基于沃德（Ward，1963）提出的算法。

沃德的方法从层级体系的基础开始，在层级体系中的任意层上依次聚合要素或子集，聚合的要素或子集产生了比其他的聚合更大的集内熵。把从方程10.19和10.20中计算出来的权重作为概率，这种方法的应用，首先是在没有连续性约束的聚合条件下使用，其次是在受到邻接矩阵［ajk］中正项的连续性约束的条件下使用。连续性约束保证在原始网络中相邻的要素在某种程度上在层级体系中也同样“接近”。图10.6中，比较了应用这些方法的两个层级体系，可以明显看出在有连续性约束的情况下可以形成最可接受的解决方案。这个解决方案展示了与基于最大生成树的层级体系的相似性，但也可以清晰地看出，更多考虑问题的全局概率的方法更合适。

分类存在互相排斥的问题涉及聚合过程中的信息丢失度。此外，选择要素应当集聚的集也经常存在困难。一个要素经常在同一层级的两个或更多子集中具有同等重要性。为应对这种可能，我们有必要建立一个基于重叠集的层级系统，从而生成一个外观为网格状但兼具部分半网格属性的结构。在这种结构中，信息丢失比严格的层级体系要少，而且在一定意义上，这种结构可以测度冗余度，有助于生成一个更真实的平均策略。

一种网格构建算法被组合起来构成权重集［wjk］的基础，权重集［wjk］通过方程10.19由矩阵［ajk］所定义。这个算法的原则包含了在层级体系中连续的层级上，依次减少子集或要素的数量。然而，受到要素或子集总数与预设的层级数量相等的约束，在层级体系中的每一个层级，任意要素可能属于两个或以上的子集。比如，建立一个简单系统，其最基本的层级上有5个要素。在下一个层级上，需要4个子集或要素，而这四个子集可以由（1，2）、（1，3）、4和5，或者（3，4）、（3，5）、（1，2）、（1，3）以及其他类似组合组成，但不能是（1，2）、（1，3）、（3，4）和（1，4），因为少了要素5。在选择子集时，我们需要基于权重矩阵［wjk］，从最大权重maxjkwjk开始并逐渐减小。在每个层级上，权重矩阵通过前面的子集或要素聚合权重的简单平均重新计算。

图10.6　基于沃德算法的层级体系结构，有连续性约束和无连续性约束

这一算法生成图10.7中展示的层级网格。图10.8中比较了本节和上一节中的树状和网格状结构所建议的图形综合。这些规划-设计问题的最终方案与图10.3所示的基于加权线性综合对的方案相比，并没有太大不同。然而，这些结构的重要性并不仅仅只是在于它们能够生成规划解决方案，而且为设计者提供了不同的方法去探索这类问题的结构。在确定最佳区位的过程中使用这些工具，与在任何提出最终方案的常规方法中对潜在子方案进行比选和斟酌具有同样意义。简而言之，生成的层级结构为设计提供了秩序。

图10.7　网格状综合结构

图10.8　不同层级方法中提取的综合的比较

需要注意的是这些方法中存在一处矛盾。如果我们假设层级体系用于对每个要素按照给定顺序互相平均，那么最接近的那些要素会被优先平均，得出的总体权重低于与较高层级子方案进行的平均。如果我们从最大生成树中选取图10.5的层级体系，假设我们遵循这一顺序，我们可以把平均过程按照下列方程写出，同时假设对两个要素或子解决方案进行平均时用的是简单平均。根据图10.5，我们可以把这个序时平均的过程写为

显而易见，连接最少的要素Ai12拥有最高的权重，而且因为它最后进入层级体系，当它与基于按照给定顺序平均另外11个要素的子方案进行平均的时候，它的权重为1/2。我们可能需要考虑为层级体系中的每个位置给定权重，依据各要素被平均并赋予先验的较高权重的次序。但是，这方面的研究还比较少，有待积极的探索。