结构网络设计：层次体系构成和关联矩阵分析

我们刚才提到的平均方法，与本章和后续章节中将要提到的方法之间的本质区别在于对众多冲突且收敛的要素的相对重要性的判断，这些要素决定了最佳选址问题的答案成功与否。这里我们有一个关键假设，在任何设计问题中，这些要素的相对权重应该反映这个问题内在的或通用的结构，而这需要设计者在设计的过程中提取出来并明确说明。也就是说，应当将问题结构作为设计的指引。这类结构的核心特性之一是任意要素之间的关系，这些要素可能是功能明确的、有因果联系的或是相关的。简而言之，任意两个要素之间的关系强度取决于其作为设计基础的程度，其中任意一个要素都会制约设计对另一个要素的要求的满足程度。总之，如果一个解决方案可以简单地同时满足两个要素的要求，那么可以认为这两个要素的关系较强，反之则较弱。然而，提出的问题可能会面临两个很难被同时满足的强联系要素，这意味着设计者应该首先考虑这些成对的要素，因为应该将比较容易解决的那些要素留到最后。因此，怎样衡量这些关系需要在用于组合要素的权重中反映出来，而它们的权重反过来又可以依照它们组合的顺序来确定。在这里，如果要素之间就它们所包含的子方案而言区别很大，我们将会建立要素关联的网络，下文中采用的网络就是基于这样的标准。

加权的方法有很多种。最简单的方法建立在成对比较的基础之上（Churchman、Ackoff and Arnoff，1957），因为它们倾向于基于结构定性地判断一个要素对任意其他要素的重要性。广为人知的层次分析法是由萨提（Saaty，1980）提出的，它被广泛应用于实践以获得权重。这个方法在比较任意一个要素和其他所有要素之间的关系强度的基础上，建立一个比较矩阵，而后提取一个综合“平均”权重集，反映每个要素在最终解决方案中的重要程度。关于我们提取与要素｛Aik｝相关的权重问题，我们可以按照如下方法推进。我们首先评价每个要素对其他每个要素的相对重要性，在不超过7个点的范围内进行评价，并建立矩阵Wjk，其中这个矩阵为要素j到要素k的相对重要性。如果假设j的重要性是k的5倍，那么Wjk=5而Wkj=1/5。由于比较的定性性质，以这种方式生成矩阵可能导致矛盾，但我们可以计算出矛盾程度并指出置信度，在严重矛盾的情况下促使设计者重新进行比较。

隐藏在这个成对比较矩阵之下的是一系列权重wj，它与我们之前定义的每个要素的相对重要性相当。如果成对比较是完全一致的，那么它会是这些权重的比例，即

从中可以很容易地看出wj=Wjkwk，对于任意权重k，这个方程需要给定权重wj。这样看来，在可能存在矛盾的矩阵Wjk中，Wjkwk的平均值应该等于wi，即

这直接说明了在矩阵W中使用w（t+1）=（1/K）W w（t）来进行迭代的方案。这通常汇集为一个权适量，与W矩阵的主特征值成比例。实际上，权重的近似值可以通过矩阵W中行或列的归一化和求得，而且正如我们将看到的，这些都与基于某种图或关系网络的系统相关，关系网络中的关系把要素按照矩阵的形式连接在一起。我们在这里不继续探讨萨提的方法，但可以很明显地延伸被用标准化权重分层的系统，假设每个层级的权重与其他层级的权重都不相关，这一标准化权重可以在每个层级分别确定然后再复合而成。最近的应用探索了构成这类层次体系的网络（Saaty，2005）。

很多设计方法，特别是由亚历山大（1964）率先提出来的方法，在探索设计问题的结构的过程中利用了这些关系。像萨提在决策领域的论文一样，亚历山大的论点是不同要素之间的成对关系反映了每个要素在设计中的相对重要性。此外，亚历山大还认为当代设计的首要问题是需要寻找设计问题的真正结构。他认为对一系列成对关系进行客观分析将提出对设计要素进行分类的新方法，并可以最终引导设计者走向最切题的解决方案。比如，通过定义有强烈冲突的要素之间的关系，并通过将这类要素分组为子集或子问题，就有可能构建出围绕首先解决强冲突子问题的方法的设计过程，并按照这种方式得到最终解决方案。在这个意义上，子问题包含了子解决方案或部分解决方案，而且比较一个子方案与其他子方案的过程及其比较顺序反映了得到最终方案过程中子方案的相对重要性。

我们假设要素j和k的关系根据不同的空间位置i而改变，要素Aij之间的最简单的成对关系集，是通过邻接矩阵为｛ajk｝的二元图来赋值，矩阵中的元素被定义为

我们假设这个图是对称的。图中没有自环，因为这与元素的自结合无关，我们同时也假设这个图是强连接的。即，对于不常见的设计问题，图必须具有强连接的特性；换言之，图中在任意两个顶点之间必须存在明显的路径或链条，这说明了不管直接的还是间接的，每个元素都与每个其他元素有联系。在这个意义上，问题不能分为两个或两个以上的独立子问题，至少不可以应用这里介绍的方法。为了说明这些概念，使用方程10.11中定义的简单二进制代码，图10.1和10.2中展示的组成小镇土地开发问题的12个要素或要求被联系起来。存在正相关的一个标准是基于亚历山大（1964）的观点“如果你在设计中对一个要素进行处理，不可避免地让处理另一个要素变得更困难或更简单，则这两个要素相互联系（而且因此连接）”（第106页）。在图10.4中，其相关矩阵以图表形式表达。现在我们的任务是探索可以从这类图中提取出来的不同加权策略，然后将它们应用在按照线性综合的方式来组合要素的过程中，但线性综合的结构会包含一个更复杂的顺序。

图10.4　问题图及其关联的邻接矩阵

可以从图或其邻接矩阵中提取出来的最简单的加权结构，是通过对［aij］的行或列求和形成的。哈拉里、诺曼和卡特莱特（Harary、Norman and Cartwright，1965）最早提及列的总和作为入度，而行的总和作为出度，而弗莱蒙特（Flament，1963）把这些分别当作接受度和排放度。这遵循我们在第3章和其他地方介绍过的网络科学的通常定义（Newman，2010）。在前述章节中介绍的某些成果在这里会重新表述，以便读者能够获得关于它们的用途的最新信息。显然，在一个对称图中，对于任意要素集｛Aik｝来说入度和出度相等。形式上，

而且一个公认的权重集是基于这些入度和出度所包含的相对连通性的，即

然而，这一系列权重只考虑了问题中的直接关系，而且很可能同时考虑直接和间接连接的策略更加切题。

这类方案中的一种是基于所谓的距离矩阵［djk］的，而正如我们在第3章的方程3.41中说明的，该距离矩阵可以通过对［ajk］进行简单的处理来定义。因为假设图是强连接的，那么就有可能可以从任意顶点到达其他任意顶点，无论是直接或是间接。如果每个直接连接被赋值为1，即单位距离，那么间接距离是这些单位距离的倍数。为了计算这些距离，我们首先需要计算邻接矩阵的连续幂，可以通过如下递推关系来计算

正如我们在前述章节中讨论过的，在一个强连接图中，矩阵由于幂指数m-1将一直保持正值，其中m是图中要素或顶点的数量。可以使用方程10.14来确定j和k之间的任意连接变为正数时幂指数m的取值。当这样一个连接变为正数时，幂指数m提供了j和k之间的距离。形式上，

加权的方法可以被定义为对行或列的总和djk求倒数，即dj和dk，它们等于

因为距离矩阵也是对称的，很明显其入度和出度是相等的。这些都遵循设计问题具体说明方式的因果对称。注意到这些权重可以在需要的时候被标准化为1。它们和第3章中定义的接近中心性，以及第6章和第7章中与空间句法相关的不同距离测量方法相似。

然而，这个加权方案的主要限制是间接距离在综合权重中所占的分量与直接距离相同。因此，间接距离占分量较少的加权方案更合适。图论中的一个著名结果是，幂指数m的单元矩阵提供了任意两个距离为m的顶点j和k之间的路径数量。当幂指数m增长时，在强连接图中路径数量按指数增长，同时加权指数

明显会在幂指数数值较高时给［ajk］太高的权重。但是可以给［ajk］在高幂指数时使用减小权重的系统。首先，通过定义一个概率矩阵，高幂指数矩阵规模效应就可以被忽略

然后对于每个矩阵，应用标量αm，0＜α＜1，相关连接的权重可以被定义为(www.xing528.com)

Z是一个比例常数，可以选择它的数值，以便权重总和达到一个预设的值。因为［wjk］是对称的，每个要素的唯一权重可以被定义为

可以选择让权重总和为1的常数Z，即

这意味着

方程10.22可以重新排列，则有

写出这个序列并把它设置为等于1，

得到Z的收敛总和，我们可以把它写为

我们现在可以把方程10.25用在方程10.19中来定义加权矩阵为

从中每个要素的权重可以被定义为这个矩阵的入度或出度。

刚才介绍的加权方案，涉及的是得到权重集［wjk］所需要的一系列相当长的计算过程，尽管这些对于现代计算来说相对不重要。尽管如此，可以计算出一个更简单而且稍微更简练的权重集，如果我们首先设定矩阵［pjk］为

那么权重可以从以下数列中得出

其中从递推关系中得出

如果可以看出（很可能）当m→∞时，，那么权重矩阵可以直接从矩阵方程

提取出来，其中是一个识别矩阵，而P=［pjk］则是方程10.27中所定义的。方程10.30右边大括号中的项是一个逆矩阵。这个收敛是一个矩阵代数的标准结果。

这四个加权方案，分别基于方程10.12中的原始连接（入度和出度）、方程10.16中的反距离入度和出度、方程10.20中的连接几何顺序以及方程10.30中的收敛数列，被用于确定基于表10.1中所有要素的12要素设计问题的结构加权。而且，这类探索和分析足够简单，可以被任意设计者手动地用于小问题上，因此构成一个用于思考设计问题的合适工具。在这个阶段，比较四种方法给出的权重值的区别很有价值。表10.2列出了每个元素的四种不同的权重集。尽管权重就级别次序而言有很高的相似度，但它们之间仍然存在重要的区别。然而，这些加权值是加权平均数和冲突解决中更结构化的方案的核心。在下一个部分中，会介绍一些这类方法。

表10.2　基于连通性、距离以及路径长度的加权方案比较

†本章最后一部分中介绍的序时平均程序的稳态，将生成与基本邻接矩阵的入度-出度相同的权重矩阵。