熵极大模型及其导数分析：流量、活跃程度与交通量

首先，我们把模型压缩成极简的形式，用严格的物理量函数来描述工作单位（起点）到住宅区（终点）之间的流。简单而言，我们要模拟的变量——也就是交通流（或出行）——是以人为单位计算的，但是在阐释变量时完全是以物理量为基础的，而物理量是由系统本身的大小和规模决定的。流从技术局限上表现为人们如何进行互动，尽管它在过程中是通过交通成本表现出来的，但是最终还是与系统的结构形态有关。另一方面，交通流通过与之相关的土地面积表现出来。这里研究的模型和第2章中介绍的空间互动模型具有相似特征，但是本章中我们将会运用更加清晰有力的框架对其进行分析，并结合它在此案例中的应用。

我们把流设为，代表从起点i，1，2，…，I到终点j，1，2，…，J之间的交通流，交通方式用k，1，2，…，K来表示。其中，研究所涵盖的地区数量为百位数，在此模型中起点和终点共有633个，而相比之下交通方式则屈指可数：只有4种基本方式，包括公路、铁路、地铁和轻轨、公交车等。我们以某个特定区域j为目标，该区域住宅区面积为Aj，通过通向该地区的交通密度对模型进行解析，但是研究对象以交通量的形式表现出来。该模型主要受制于两个物理条件，其一是每一种交通方式的总消耗量用Ck，方程为：

其中代表消耗的能源总量，通过一般技术水平下的交通消耗测度，与用以从起点i移动到终点j的网络k相关联。第二个限制条件是起点区域的活跃程度，即职位的数量Ei，它也是系统中人类活动量的基本计量方式：

系统中的总体交通量T已经包含在方程9.2当中，也可以表示为：

这里值得一提的是该模型的特殊结构。方程9.1中的交通方式消耗量都有其控制变量，因此每种方式都有不同的能源消耗，而不仅仅是按照起点不同单纯地把所有交通方式的出行数量相加。这也就意味着该模型模拟了交通方式之间的竞争，而这正是不同交通方式之间人流量转化的重要条件之一。由于基础模型是一个“单一或限制起点”的空间互动模型，除了流动以外，模型主要预测来源就是每个居住区的活动状况，即工作人口数量Pj，可以表示为：

而其他数据可以通过起点和终点的相关数据预测出来，如就业率、总人口等。

为了进一步解析这个模型，我们采取较为完善的一种方式，即熵S的定义和最大化分布情况。实际上，我们采用的熵的定义更有连贯性，最初是由Wilson（1970）创建，与巴蒂（1974b，2010）方程有一定相似度，但相互独立，方程为：

接下来我们用方程9.1、9.2和9.3作为因变量代入拉格朗日函数L，求最大熵值，(www.xing528.com)

在求导取最大值的情况下设方程等于零，即可得出：

根据这个方程可以很容易地推导出模型。我们还可以在不影响整体性的情况下将常数λi与常数-1合并，但不能引入新的变量。模型可以先用对数函数进行表达，然后整理成一般方程形式，即：

这里有两个特点值得一提。第一，我们把方程9.2代入方程9.8，可以得出一个很有趣的形式。在这个方程中我们可以把λi表示为：

这样就形成了一个log求和方程，该方程在消费者分析中频繁用于表示盈收情况，尤其是与交通有关的盈收。我们可以看到，它与系统中存在的可消耗能量有着直接关系。然而，相同的表达方式却不能使用于消耗量参数λk。第二，如果我们把方程9.8模拟出的两种交通方式的营收情况进行对比，就会形成一个很简单的竞争模式。给模型方程中的系数赋值，比如k=1或k=2，然后可得：

这意味着这种对数形式的交通模式划分是相关交通消费率的直接函数。这一点在模型中十分关键，因为该模型的主要进步就在于其开发目的是为了对比不同交通方式在能源消费变化上的区别。

还有一点关系到这些方程的细节，但在此不再赘述。在不同版本的模型中，对终点活动的限制——简单来说就是对人口密度的限制——得到了重视。这就把该模型从起点限制型变成了半起点半终点限制型模型，而它强调的限制条件如下所示：

其中是j区域中居住人口数的极限值。但是只有一部分地区是受到严格条件限制的，因为在许多区域中，这种限制只是概念上的限制，许多区域都有着足够的空间，这一条件几乎不会被打破。然而在城市内部或人口较为密集的地区，方程9.11就起到了关键作用。如果这个限制条件被打破，那么就必须引入新的系数λj来保证方程9.11得到满足，这样一来模型就需要用一种不同的方式进行迭代解析。上述许多方程和其他的附加方程都要做一定的修改才能满足新的限制条件，但是在下述案例中，我们将介绍单一限制型模型案例。该模型的扩展版在建立时融入了许多其他限制条件，读者可以进一步了解（Batty et al.，2011）。