元胞自动机机制：实现实际发展的模型

对于我们的模拟过程，我们需要施加比DLA模型及其变量所提供的控制更大程度的控制。事实上，我们是通过生成代数来生成之前的聚类结构的，而生成代数是许多产生模式的过程，也就是所谓的自动机的基础。自动机往往被广义地定义为一个有限状态机，它受输入内容驱动，从而改变机器的状态，也就是输出内容的取值。输出内容可以继而被用作输入内容从而推动状态转换，我们可以对这一生成过程进行调整来重复产生我们这里介绍的模式。例如，DLA模型输入的是一个在单元格间移动的个人，如果空间出现一定状况，这个人就可以将单元状态由未开发转变为已开发。这点，当然是同时在许多个人那里进行的。把空间看成一系列单元格就把我们的问题转化成了几何问题，虽然我们想当然地认为在这些模拟中，城市都是以这样的方式呈现的，但是事实上，一般的自动机，尤其是空间自动机其实可以是任意形状任意维度的。

我们这里用于生成实际发展的自动机被称为元胞自动机（CA）。我们设定根据一定法则将每个单元状态由未开发转为开发的网格为一个常规的单元网格。那么，元胞自动机的组成元素就包括一系列有若干种状态的单元，在这个案例中，主要是已开发与未开发两种状态，并且可能衍生出不同类型的发展；处在上述单元四周东-西-南-北-东北-东南-西南-西北位置上邻近的八个单元；以及一系列转换法则，这些法则规定每个单元如何根据周边八个方位上邻近的八个单元的布局、状态以及特性来改变自身状态。现在我们从网格中心一个单元的最初状态开始，并应用这一法则：若一个单元周边存在一个或一个以上的单元，则这个最初的单元周边会存在一种扩散作用，这种扩散反映了一个连续传播的过程，正如运动中的物质会扩散一样。这种扩散是成方形进行的，因为其基底的网格是方形的。如果我们将网格设置为圆形的，我们也可以轻而易举地将扩散范围变成圆形。在图8.9中我们标示出了这种扩散作用以及产生自动机的内在法则。

我们会从形式上研究这些模型。它们是所有城市模型中最简单的，因为它们将人口与环境完全融为一体。

图8.9　元胞自动机：单元如何产生

注：a.围绕中心单元的8个邻近单元。b.中间：网格中的所有单元。如果网格中的一个或多个单元处于一种特定状态，在这个案例中指已开发的状态（即图中黑色单元），那么其周边的单元（即图中深灰色单元）会转变成已开发状态。如果将这一基于邻近单元的法则应用到网格中的每一个单元，那么结果就会是c.围绕中心单元（即图中黑色单元）一周的单元都会变成已开发状态（黑色斜线区域）。

本质上，环境的组成部分与人口的构成部分是相同的，因为在任何时间点上确定环境范围的地理空间单元就相当于人口中的每个构成单位。现在假设元胞自动机模型中的每个单元i在t时可以处于多种状态Ait，也就是说人口单元可以改变自身的特征。当然，最简单的形式就是单元i在t时只可能处于开或者关两种状态中的一种，从城市的角度来说可以指单元正在被开发或者单元尚未被开发。用方程可以表示为：

在更为复杂的元胞自动机模型中，每个单元可能会有超过一个的人口对象。如果一个单元只有一个人口对象，那么即便这个人口对象有多重特征或者其状态会发生多种变化，这个模型还是属于元胞自动机模型的范畴。简单来说，如果一个单元有两种以上的状态变化，那么这种状态变化往往用来反映土地用途的改变，例如土地利用类型的变化，当然它也可能与人口对象特征的变化相关，比如人口收入水平、年龄等的变化。这个公式是完全通用的。(www.xing528.com)

如图8.9所示，严格来说，元胞自动机模型是不存在超距作用的，除非是在狭义上。在元胞自动机模型中，一个单元会影响离自己最近的单元或者被离自己最近的单元影响，如果我们指的是个空间体系，那么这里的“近”指的就是空间距离上相接近。这是我们将新单元出现纳入模型的唯一方式，因为如果一个单元的影响范围超出了离其最近的单元，那么我们就不可能追踪新出现单元对最终整个空间结构的影响了。正是因为如此，元胞自动机模型可以用来生成分形结构，分形结构中同一模式会在不同尺度上重复出现，而且只有当体系发展演化时才会出现。我们可以通过以下方式来解释说明严格的元胞自动机模型。假设集合ZI是一个正方形网格上的一组邻近单元。通常情况下，一组邻近单元统称为摩尔型邻域（即位于单元四周八个方位的单元，如图8.9所示）或者冯诺依曼邻域（即位于中心单元东西南北方向上的单元）。我们将函数Fit定义为ZI邻域里的串联效应。如果这个函数取一个确定的值，则上文所述单元i的状态就会发生变化。假设我们的法则（当然可以有很多不同的法则）是：如果这个函数的值大于一个确定的阈值Ψ（即处于已开发状态的邻近单元个数的总和），那么所述单元i状态就会发生改变。在最简单的情况下，如果这个单元尚未开发，其状态就会转变为已开发；如果这个单元已被开发，那么它就会保持已开发的状态。根据方程8.5的定义，可以得出以下方程：

以及：

很容易看出，这个过程会带来扩散作用，始于单个单元。如果我们假设阈值Ψ=1，则处于中心单元四周八个方位上的八个单元会首先被开发，然后是这八个刚刚被开发的单元周围的单元会被开发，以此类推，这种循环最后会带来中心单元周边一个方形地区的发展。事实上，在这个案例中，时间和空间被融为一体，这也是常规空间扩散的关键标准。关于这些观点，巴蒂（Batty，2005）有更为深入的阐释，他提供了很多关于严格的元胞自动机模型以及由此演化而来的基于代理人的模型形式的阐述。

图8.10　经典元胞自动机模型

注：a.网格上的最近邻物理扩散；b.科赫式分形扩散；c.定向扩散限制聚集。

如果元胞自动机模型的邻域法则变得更为复杂一些的话，那么就可能产生各种不同的几何分形，在已生成的结构中也可能存在关键的空间定位和偏倚。然而，在元胞自动机建模过程中，邻域、规则和生成过程往往是完全统一的，所以一旦引进了不断变化的邻域和不断变化的规则，模型就不再是元胞自动机模型了。实际上，在城市规划中运用的模型很多都不是严格意义上的元胞自动机模型，而是细胞空间模型，这些模型是根据实际土地问题和基于栅格的地理信息系统（GIS）地图代数建立的。它们并不会生成任何可识别的突变模式，且都放宽了对于领域规模和单元转变法则的限制。图8.10为三个通过摩尔型邻域生成的典型元胞自动机模型。第一个是简单扩散模型，其中每个邻近单元的发展都会影响所述单元的发展；第二个是应用分形生成法则的简单扩散模型，其中生成的单元模式决定了法则；第三个模型是以一个更为复杂的单元模式为基础的，这些单元来自一个引导增长的邻域，在这个案例中这种增长指的是一个给定方向上的随机增长。这些就是构成自动机基础的结构，其所有在现实体系中的应用都包含图8.10中用于生成模式的递归机制。