模拟空间填充生长：聚集城市、稀疏结构、网状填充

我们的模型基于两个关键的驱动力。首先，城市的存在促进了劳动分工和规模经济（或者所谓的集聚经济）的产生。这一点我们在之前的章节中探讨过，并援引了阿尔弗雷德·马歇尔（1890）的观点。100多年前，阿尔弗雷德·马歇尔说：“相邻城镇间，从事同一种行业的人们从彼此身上获得的利处是相当可观的。对他们来说，相互之间就不再存在行业秘密。”（引自Glaeser，1996）我们的第一条原则就是：城市存在的前提是，个人与个人之间必须相互联系且在空间距离上相互接近。这就意味着城市的新进入者必须在空间距离上与城市的原住民相接近。但是，同时，每个人都会尽可能地扩展自己的个人空间，也就是说他们会希望与他人的空间距离尽可能地大一些同时又要确保自己仍然居住在城市范围内。这可能会带来人口密度的降低，但在曼哈顿地区，通过建造高耸入云的摩天大楼，人们也可以做到这一点。另外，在不同的国家和地区，人们也有越来越多创新的方法来实现这一目标。即便人们的方式可能存在很大的区别，在这里我们仍然把第二条原则理解为：人们希望居住在现有城市的边缘地带而不是中心地区。我们也注意到我们事实上无须强调空间邻接性，因为不需要空间邻接性，城市也可以建立起一个联系网络。但是为了更好地展现这一点，我们假设城市联系网络的形成需要建立在距离相近、空间相邻的基础上。

由此，我们就可以建立我们的模型。想象一下，一个商人决定寻找一块居住地，他往往会选择在一条贸易通道和一条河流的交界处落脚，因为那里土地平坦，土壤肥沃。很多城市都是这样发展而来的，由于自身相对的自然优势而被人们选中成为定居地。现在想象一下，另外一个人正在寻找一块永久居住地，他来到了这个孤独的商人的居住地附近。如果这个人偶然到了这位商人的居住地附近，他可能会决定在此定居下来，虽然在广阔的腹地可能还有许多商人没有来到这块居住地，也没有找到这个急需的定居点。然而，有一定比例的人有可能找到这块居住地，然后随着时间的推移，随着这里的商人数量越来越多，这块居住地就会发展起来。随着这块居住地的发展，它被发现的可能性也会越来越大，因为它占有的空间会越来越大。就这样，通过这些简单的原则，我们就可以展现城市发展的形态。图8.5a就是这一选址过程的示意图。定居点位于圆心位置，由黑色实心点标出，在定居点外围一圈是居住人口。黑色实心点就是最初商人居住的地点，其他个人由灰色实心点标出，他们随机游走开始寻找定居点。在每个阶段，他们都会对随机游走的方向做出决定，到底是向上向下还是向左向右。他们就是以这样的方式在这个平面上随机游走。如果他们移动到了黑色实心点周围的单元，就会停下随机游走，定居在这个单元上，这时他们的标识就会由灰色实心点变为黑色实心点，这意味着他们的位置现在固定下来了，不再变动了。第一个停下随机游走的点就是在最初的黑色实心点边上的黑点。这几乎就是选址过程的全貌了。我们看到了最终的形式，所以我们知道最后会发生什么，但是如果我们之前并不知道最终的结果是什么，那么很多人就会猜想，结果一定不会是一个树状结构，而会是一个不断扩大的块状结构。

我们把这一过程在图8.5b中展现出来。在第二个商人在已知黑色实心点附近定居后，另一个商人发现这一块定居地而不是另外的定居地的概率只上升了一点点。随着时间的推移，聚落生长锥的线性边缘模式开始突显，渐渐地，其他商人就不可能再进入聚落的内部，他们更可能聚集在聚落的外围，这样，聚落的范围就会不断扩大。这种扩张要想形成一个高密集度的块状结构，其欧几里得维数必然要接近于2，但事实上根据很多领域实证调查得出的数据来看，这一结构的分形维数在1到2之间，大约为1.7（Batty and Longley，1994）。这个结构，同其他任何枝晶结构一样，都是分形，从它的形态上可以很容易地看出其自相似性。我们只要将任何一个分支独立截取下来，就会发现这个分支反映了整个结构的形态，正如我们可以从一片树叶看出一棵树或者一株植物的整个结构一样。如果我们增加随机游走经过的网格的清晰度，如图8.5c所示，我们就会得到越来越精细的树状结构，从中可以很明显地看出分形结构。

这种形态是通过扩散限制聚集模型（DLA）产生的，在物理学中这一模型被广泛地应用于产生晶体状结构和研究物质之间的相互渗透，例如研究油如何扩散到水中（Stanley and Ostrowsky，1985）。如果将浓缩的肥皂液倒入洗澡水中，也可以看到类似的模式，使人联想起迪拜的棕榈岛度假胜地是如何被“逼进”海里的。(www.xing528.com)

图8.5　通过扩散限制聚集模型产生的聚集城市生长

一般来说，一个高密度的物质在融入低密度物质中时，都会形成这样的模式。当然，一个模型也就是在其假设的范围内站得住脚，但是我们也可以对DLA模型进行调整，从而产生许多不同的形状，其中有一些甚至与我们在真实的城市中看到的存在惊人的相似之处。比如说，如果我们放宽标准，不再限制在此定居的个人必须居住在已经确定的空间范围内，那么我们就可以调整DLA模型从而产生一个更为稀疏的结构。另外，我们还可以设置一个距离阈值，或者我们可以强调一个定居点必须至少有两个人定居。这样，我们就可以改变密度，从而产生一个受到严格控制的结构或者一个定居限制很宽松的致密线性结构。扩散限制聚集模型的这些延伸在其他作者的著作中都有探讨过（Batty，2005）。

这些生长机制导致了空间填充模式的产生，这些模式往往是线性的而不是紧致的块状结构，并且空间是被网状组成部分填充的。从某种程度上说，这与生物体内部能量输送是相似的，生物体的新陈代谢遵循不同的异速生长比例定律，比如我们在第1章和第3章中介绍的那些定律（West、Brown and Enquist，1997）。在那些章节中，我们说明了单一中心的城市如何缩短交通距离，这些城市依靠集中于城市中心的树状网络结构来输送能量，并且我们假设在单一中心城市中，每个人都在向城市中心聚集。这与DLA模型是完全一致的，因为DLA模型就是在一个中心点周围生成一些活动。如果我们放宽这个模型的标准，加入若干个中心，甚至在没有覆盖到的地区设置一些中心，那么我们就可以建立起一个保有网络特征的多中心结构。同样，我们也可以放宽异速生长网络模型的标准，正如第3章中指出的，继萨马涅戈和摩西（Samaniego and Moses，2008）之后，比例关系开始产生统一的改变。实质上，我们的讨论所要说明的是，相对鲁棒且简单的城市选址模型更有可能产生网络结构，而不是密集的群聚结构，产生群聚结构只能说是个例外，而不是一般的规律，因为对这些模型来说，相互之间的联系对活动的选址来说是十分关键的。简而言之，产生那些城市分形结构的当代选址结构实质上是在重复那些构成城市主要框架的网络结构。