原始和对偶：基于欧几里得距离的轴线图扩展

矩阵［aij］中所表现的内容让我们可以从两种完全不同的方式来看待问题：每行的内容是每条线上的对象或点的计数，而每列是每个对象或点与线相关联的数量。这分别对应了原始和对偶问题。任意两条线上的公共点数量形成了一个关系网络、一张加权图，其基本形式为：

其中［ℓik］是任意两条线上的公共点数量。在空间句法和其他分析方法中，这个矩阵通常被切割为如下的二分形式：

这说明任意两条线的公共点数量并没有被赋予任何权重，因此关联或不关联取决于至少有一个公共点。线｛i｝与其他所有线之间直接联系的公共点的总数量为：

通过出度来衡量与上述线的直接距离，也就是接近度的对立面。由于［ℓik］是对称的，那么入度，k=i。

这个原始形式是经典的空间句法问题和距离的测度，以及与上述街道距离为一步的街道数量。对偶问题在点上重复这一逻辑。通过［aij］计算得出关系矩阵［ρjl］：

其中［ρjl］是点j和l共有的线的数量。基于出度对直接距离的关联值可以表示为：

而入度也具有同样的对称性。这里的是两个初始距离值，尽管这些事实上是计数值、直接接近度或是邻接，也就是每条线上的点数量以及每个点上的线数量——一条线上与任意其他线的公共点总数，以及一个点与任意其他点的公共线的总数。我们现在需要分别基于矩阵［ℓik］或［ρjl］中的任意一对线或任意一对点，更加精确地测度距离。实际上，这与第2章中的一些内容相似，我们通过出行量矩阵和空间相互作用模型得到了可达性的多种测度，作为从始点发出或进入终点的所有流的总和或势能。

这种距离测度方法考虑了图中的所有关系，根据两张图中所有连续路径长度的公共线或点的数量进行计算。根据定义，这些图通常是强连接的，从而连续路径长度也就是所谓的步长，最多只需计算至系统中线或点的数量即可。最短路径往往在达到这个数量之前就会被发现。我们将展示在仅有线矩阵的原始问题中的这个计算方法，因为对偶是紧随其后的。从线i到线k在图上的两步公共点的数量可以表示为：

其中，对方程7.9进行步长为s+1的递归，那么有：(www.xing528.com)

当s≤n，其中n是矩阵中的列数量，当图中所有的路径变成正值，即时，递归将会收敛。

对距离d（ℓ）ik的测度最初是建立在步长上，而方程10的每次迭代计算为：

这个计算最终将会收敛。对每条线i来说，总体可达性或邻近度的两种测度为：

和

这些测度生成的结果可能很类似，因为倒数权重的差别非常小。当像方程7.12那样，计算每个链接ik的倒数距离时，负幂（-1）可能会变化，而空间相互作用理论可以解释这个变化的含义。

这个测度中有很多变量，以不同的方式被标准化处理。其中之一直接用于计算全图上的路径数量以及任意一对线之间公共点的数量，是基于不同的连续路径长度的矩阵线性组合，并且按照较长的连续步长获得较小的权重来为权重赋值。这种测度方法可以表示为：

如果我们设定0＜λ＜1，在方程7.14的总和中，每个连续对象的重要性都会降低。实际上λ的取值必须使每个对象的值都减少，一个典型的λ值大约是0.05，也是我们在第6章中采用的值。矩阵是对称的，因此入度和出度的测度是相同的。当我们根据连续路径上的点数量的减少来赋权重时，这个测度方法就已经涉及了可达性。因此一个适当的聚合是：

我们将上述方程称为加权可达性。

我们现在有五种形式的可达性测度：，它们的对偶形式分别是：。这些是我们在上一章中介绍的测度方法，同时我们还建立了关于原始和对偶空间句法问题的理论。现在我们试图探索，如何通过基于欧几里得距离的测度方法来扩展这些拓扑方法。下面介绍的方法并不是作为拓扑方法的替代，而是一个补充。实际上，欧几里得距离是一个与视线之间的拓扑关系不太一样的概念，后者实质上是空间句法的内容。然而，由于拓扑方法与地理学空间比较接近，而其出发点是基于线和点的轴线图，这些要素都是与空间紧密结合的，那么就可以提出这样的问题：地理网络中线和点的拓扑距离的测度，对于欧几里得空间中的更加传统的测度意味着什么？此外，我们还需要探索原始和对偶的句法关系可视化的最佳途径。为此，需要依据欧几里得距离对轴线图的内容进行检验。但是在我们推导这些距离测度方法前，我们需要研究传统原始和对偶问题间的关系，以及更深地研究空间句法问题。我们还需要展示网络中的可达性对这两类问题的实际含义。为此，我们将再次回到图7.1，以简单案例进一步分析这些问题，使用空间句法检查大城市街区密集区的街道视线，这其中将涉及很多典型的应用。