基于连通性和距离的可达性分析成果

上面介绍了通过测量线和点与其紧邻的同类元素的直接联系来衡量连通性。也就是线元素或点元素之间的直接连接。而距离的测量虽然也考虑紧邻元素，但更合适的方式是基于系统元素的非直接连接来进行。通常的形式是计算元素间的最短线路，然后计算关联的入度和出度，以对势能和可达性进行衡量。在这部分中，我们将首先介绍标准测量方法，并提出另一种更具所需特性的方法。不过在每个例子中，这些距离都会基于线矩阵L和点矩阵P的相互作用。我们将首先阐释针对原始问题的标准测量方法。首先是矩阵L，它包括了任意两条线上共有点的数量信息。对于处于不同距离阶段的任意两条线，我们还需要计算任意它们在图中所有存在路径间的共有点数量。相互距离为一阶路径的基本矩阵元素ℓik是直接连接的，而二阶路径连接的数量为：

其中是基本矩阵的元素ℓik。对于长度为s的路径数量可以如下计算：

然而，我们计算距离，并不是依据这些路径长度上的点的数量，而是路径的实际长度，即任意两条线i和k之间的最小距离。因此：

其中s是路径的长度。在强连接图中（包括本书中涉及的所有图），当路径长度s达到n或在这之前，d（ℓ）ik＞0。这是初等矩阵代数的标准结果，因而通过方程6.15和6.16提供了可以计算这类图中的最短路径的算法。

前面我们提到过，在空间句法中使用的矩阵并不是［ℓik］，而是方程6.7中所定义的二元形式［Zik ］。然而，由此产生的距离矩阵与［d（ℓ）ik］非常接近。这与通过计算将L自乘连续幂产生的加权是没有关联的。实际上，尽管矩阵［Zik］的自元素Zik=0，二阶路径则为正值，而得到的距离矩阵与方程6.15和方程6.16的计算结果高度相关。不过用矩阵概念来描述会更容易。因此，对于原始问题，L的连续幂是Ls+1=LsL。而距离矩阵D（ℓ）在当s≤n时变得稳定。对偶距离矩阵可以通过一个非常类似的过程得出，点到点的矩阵P包括了任意两个点间的共有线数量，将它与连续幂Ps+1=PsP自乘，将距离矩阵计算为D（ρ）。

我们计算合适的矩阵的连续幂的入度和出度（由于对称性它们其实是一样的）：(www.xing528.com)

有多种方法可以体现这些原始和对偶问题的度向量如何相互间形成互锁。我们在此仅提出对于每个问题的互锁的本质，而不做进一步解释：

方程6.17和方程6.18中体现的关系，为这种性质图中的路径长度提供了另外的解释。对这些线的进一步分析将使我们偏离中心议题，但我们将在本书的第三篇中的多个章节中再次讨论这些分析，并探讨研究方程6.18中的关系类型。

原始问题中从一条线到其他所有线的累积距离，以及对偶问题中从一个点到所有其他点的累积距离，都通过同样的方式计算，即对相关距离矩阵的入度和出度进行求和：

实际上，这些距离衡量的是不可达性，而不是可达性。所以它们需要通过某种方式被转换以更好地衡量。在空间句法中，d（ℓ）指的是深度，且通常根据系统n中线的数量被取平均。那么线（以及线的区域）与一条给定的线在某个给定的距离或深度之内，就显得很重要，但是这对相对分布并没有什么影响。空间句法中对可达性的衡量简单地采用了原始问题的距离平均值并加于转换，得到了被称为“整合”的指标。这些指标存在变化（Teklenberg 、 Timmermans and van Wagenberg，1993），但对于原始和对偶问题，每个元素的整合（或可达性）通常可以被定义为：

这些测度方法的主要问题是它们忽略了图中的相对重要性和路径强度。首先，在连通性强度被转换为简单的步长距离的过程中有信息损失，如方程6.16所示。其次，每一步都具有相同的权重，然而有可能出现的情况是，当步长变大时，步的相对重要性会减小。再次，图中步的数量取决于图的规模，因此不同规模的系统无法相互比较。需要一些标准化处理以进行比较。这个问题的一部分已经有所解决，但最佳的解决办法是通过一种对距离测量的新方法，这种方法基于基本路径连通性的矩阵L和P，以及认为较大步长如同欧几里得空间中的距离那样，其重要性日益降低。