城市时空动态：重要城镇稳定，小村镇排名变动，分析工具有利

我们从一个简单的案例入手，即14世纪至19世纪间意大利半岛上的城市增长（Bosker、Brakman、Garretsen、De Jong and Schramm，2007；Malanima，1998）。案例中的时空动态并不复杂，因为在14世纪及意大利统一期间建立的主要城市（博洛尼亚、佛罗伦萨、热那亚、米兰、那不勒斯、帕多瓦、巴勒莫、罗马、威尼斯、维罗纳），到1861年（分析结束点）并没有发生大规模扩张或等级的大幅度升降。我们设了七个时间点1300年、1400年、1500年、1600年、1700年、1800年及1861年，并且我们找到了这一时期内555个城镇的人口数量，并根据人口规模对城镇进行了排序，分析了等级变化的情况。上述重要的城镇自文艺复兴开始就一直占据着人口数量前十五的位置。之后的分析中，尽管一共有195个不同的城镇都曾进入过前100，我们只考察各时间点的前100名的城镇。有的城镇进入又掉出前100，我们只计算在时间点截止时仍处在前100的城镇，因为我们没有足够数据去考察各时间点期间城市人口规模的变化与排名。数据中，有360个城镇从未进入前100，因此从头到尾都只能算是村镇，有的甚至只是微不足道的居民点。需要注意的是，尽管我们希望考察的是人口规模前100的城镇，第二个时间点（1400年）列入的城镇数目只有95个，而其他时间点则因存在人口相等的情况而使得城镇数目超过100个。

考察这一时期的人口相对稳定度，1300年人口规模排名前100的城镇的人口总数为210万，1500年下降到171万（很可能是由于黑死病与战争导致人口减少），1700年人口恢复至222万，1861年增至397万（因为政局统一及工业化开始）。我们也发现人口的相对稳定度与城市位序-规模关系的稳定度直接相关。然而，这种稳定仅仅局限于重要城镇，小村镇的位序发生了剧烈的变动，因为意大利城邦中重要城镇的影响使得小村镇的维系日益艰难。

上述案例对于我们使用各种工具分析描绘城市的空间-时间动态十分有利。我们先将7个时间点上位序-规模关系归纳为Pi～r（Pi）1/1-α，取对数变化，设，斜率与规模系数1/（1-α）相关。此时，暂不考虑时间系数t或τ，将位序与规模相联系记为r（Pi）。与上述方程4.9相同。我们在图4.5a中更清晰地展示了两者分布模式的相似性。衡量规模系数的方法有很多，最传统的也最受偏爱的办法是利用普通最小二乘法（ordinary least squares，OLS）估算，可得比例系数为。相对不那么受偏爱的方法是最大可能性法（maximumlikelihood method），纽曼（Newman，2005）曾将其改写为幂函数形式，求解每个分布的可能性的方程为：

其中，是比例系数，N是城市数据集（随时间的点变化而变化）中的观察数，Pmin是界定每个城市-规模分布的最低人口界限。传统的观点认为规模分布可能在上尾部分呈现稳定状态，下尾部分则被最小值截断，正如克劳斯特、沙利齐和纽曼（Clauset、Shalizi and Newman，2009）所认为，这可能是实验的一大问题。我们在可用的软件中尝试了这种办法估算，设最小值为Pk，平均值即为：

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图4.5　位序变化的时空动态可视化

注：a.七个时间的Zipf图；b.1400年与1861年的位序变化；c.所有城镇在七个时间段的位序变化；d.位序钟（颜色灰度变化依据1300年以来城镇出现年代及其位序。第一个城镇，1300年位序最高的城镇为红色；最末一个城镇，在最晚年代位序最低的城镇为蓝色，根据红蓝光谱绘制为同等的灰度级别。）

表4.1　大致的排名规模

如表4.1所示，估算值之间非常接近，这也意味着在500年间顶级城市并没有发生显著的变化。