图形中心性的测量成果展示

在网络系统中，与第2章中介绍的“可达性”或流系统的“势能”相当的概念是“中心性”。入度或出度可以很好地测度节点的到达情况，但入度和出度只考虑了直接连接，不同于对流势能的测度，没有反映任何大于直接相邻节点的距离。在二元图中，测量度的方法只是简单地计算到达或从任意节点出发的连接的数量，即相邻的数量，而不是实际距离，如果用真实距离对图形进行加权，可以计算出更加传统的测度指标，即可达性。我们把度方程3.13和3.14重复为

如果实际距离dij被用在二元连接gij上，将提供一种与二维欧几里得空间相关的测量方法。如果所有可能的连接都被考虑进去，那么对每个节点进行测量可以反映系统内从所有节点到考虑中的节点的总距离，有必要用一些方式对这些测度方法进行转化，以生成相应的可达性指数。其中一种相关的测度方法被称为“邻近中心性”（closeness centrality），它被用于社会网络理论中（Jackson，2010；Prell，2012），计算邻近中心性首先需要计算总相邻距离Di：

我们只用出度来展示这一方法，因为出度的衡量需要遵循方向，但这确实是一个衡量分散性的方法，而且通常转化为Li：

K是一个常数，往往等于节点数减去1，即N-1，dij是从i到j之间的最短距离。

一个更令人满意的方法是“中介中心性”（betweenness centrality）Ck，特别是用在二元对称图中，弗里曼（Freeman，1979）第一次提出了中介中心性的定义，即：

(www.xing528.com)

其中σikj是从节点i到j且通过节点k的最短路径的数量，而不是距离。这显然可以看出一个节点与其他节点之间是怎样联系的，但它需要被加权，因为从i到j之间可能有好几条距离相当的最短路径。当存在超过一条路径时，那么每条路径就作为总路径σij的一部分。当有两条路径的情况下，每条路径计算1/2；当有三条路径时，每条路径计算1/3，以此类推。

根据对距离的不同定义，在度、邻近性和中介性三种测度方法基础上有很多变体，但为了展示它们的用途，我们选择了一个真实但相对简单的空间网络——伦敦地铁系统。以城市中心为中心，伦敦地铁系统或多或少呈现放射树状形态，但在构成扩展CBD边界的环线内部有一个复杂的多中心交联组（Roth、Kang、Batty and Barthelemy，2011）。这个系统中共有307个节点和353条连接，其连通性为C （Ψ）=0.0077。密度是连接数除以自连以外的可能连接，即∑i∑jgij/N（N-1）=0.0038，它的值是连通性的一半（因为这是对称系统）。我们将不在这个系统中展示所有三种方法，只在图3.11中画出了中介中心性，但我们计算了它们之间的相关。度分布和邻近中心性（注意由于是对称系统，入度和出度分布是相同的）之间的相关系数很高，为0.727；但度和中介中心性之间的相关值较低，为0.513；邻近中心性与中介中心性之间的相关系数为0.492。简而言之，这些方法确实可以计算出相当一部分不同种类的可达性，而且这些方法也有可能有潜力用于分析流系统，从而丰富了第2章介绍的可达性和势能测度方法。

图3.11　伦敦地铁网络中，以站点作为节点的中介中心性

图3.11以球形方式展示了中介中心性指数，说明该网络系统相对简单（与大多具有相同节点数的社交网络相比）。但是，这也说明了呈现包含多个节点和连接的图的困难程度，即使在这个案例中该图主要是（但不完全）平面的，嵌入在地理空间中，并且是树形。在这种情况下，地理嵌入对于理解CBD的节点聚类是很重要的，但是其他图形表达对于空间网络仍是有用的。这类图包含了显示节点和边的一种方式，相交数量最小，并且边的长度尽可能相等，这种方式是展示结构的好方法，在图3.12中，我们展示了“力导向”算法如何帮助我们真正洞察并理清关系。

图3.12　用哈雷尔-科伦的力导引算法计算的伦敦网络中介中心性（锚定在希斯罗机场，左下）

我们用于生成图3.12的特定做法是，如果是弹性的就将力分配给边，如果是带电粒子，则把力分配到点，而这些力把节点拉在一起或使它们分开，通过不断迭代直到建立某种均衡，最终形成的图每条边的长度尽可能相等。这一方法也有很多变体；其中生成了图3.12的是哈雷尔和科伦（Harel and Koren，2002）提出来的。其效果是扩大中心区域，并定义系统内的循环，以使CBD中的多中心枢纽的复杂特性变得清晰。可以生成这类可视化效果的软件包有很多，在本书的后续部分我们间或应用于表达网络。