生成连续流模型的优化方法和应用

我们对这些模型的处理已经建立在通过严格计算交互进行分配的推导一致性基础之上，也就是说，确保流的总和为已知总体，这构成了特定模型必须满足的约束条件。威尔逊（1970）的交互模型族正是按此建立的。然而，有一些有力的框架用于生成此类模型，我们需要在一个能够对约束和目标函数做出相应选择的优化框架下对流进行设定。在本章的开始部分，我们讨论了交通问题并针对这一问题的变体提出了大量可能的解决方案，因此，我们其实已经一睹曙光。

一个最广泛用于描述复杂系统中多样性程度的函数是由香农（Shanno，1948）对信息（熵）的测度，他测量了一般条件下构成系统的不同组件概率的不确定性程度。如果每个事件具有一定的发生概率，并且将起点与终点之间流的概率定义为pij，那么我们可以对每个概率取对数log pij，继而得出加权平均值H，如式：

如果所有概率pij都是相同的并且其中一个事件确实发生了，可以得到信息的最大值，在这个案例中我们可以很容易得到H=logM，其中M是出行概率的总和，在这一标记法中起点和终点的数量相同，M=N2。在仅有一个概率为正且等于整体而其他皆为零的情况下，如果事件发生将没有信息可以获得，也就是说H=0。方程2.32所表达的函数满足这些限定，因此是一个描述系统结构的合适测度，并可以用在这些方面。我们现在通过向起点、终点、总流和诸如出行成本等其他相应信息施加限制生成了空间交互模型族。我们将通过概率形式而不是与流量相关的直接限制对这些模型进行发展，通过将流Tij记录为总流量T与相应概率的乘积，可以得到我们所有的早期模型。这些起点和终点概率之和为1，

约束与方程2.32所测度的熵相一致，但考虑到起点和终点的规范化约束，方程2.33就有些冗余，可以直接表达为：

最为关键的制约因素是，在生成模型时如何用一定方式对距离或出行成本cij进行折算，其一般实现方法是

其中为平均出行成本。

在方程2.34和2.35所限定的条件下，方程2.32最大化可衍生得到模型

其中Ki和Kj是与方程2.34相关的标准化常数，γ表示方程2.35中i区与j区之间出行成本的参数。将方程2.36中的Pij代入方程2.34，很容易就可以分别计算出Ki和Kj。简化后可以得出方程

这在结构上与方程2.21至2.23中的双约束引力模型常数完全相同。这种最大化的特别后果是：出行成本或距离函数不再如我们在第1章介绍的那样纯粹用比例法则来表示，而是用负指数函数形式。这种函数的适应范围更广，在这本书的其他部分我们还将看到。(www.xing528.com)

正如我们所提到的，为了应对真实的出行或人口问题，可以简单地通过总量乘以概率对这些模型进行缩放，如T代表交通系统中的总出行，P代表城市系统中的总人口，Y代表贸易系统中的总收入等。但是这个系统构成了交互模型族的基础，可以通过放松标准化约束来生成；例如，忽略距离约束（Kj=1，∀j）或忽略起点约束（Ki=1，∀i），或是两者皆忽略，我们需要提出方程2.33中的总标准化，以提供一个总体常数K。值得一提的是这些模型也可以按照随机效用理论生成近乎等效的形式，此类模型关注个体层面而不是出行者整体，被称作离散选择模型（discrete choice model）（Ben-Akiva and Lerman，1985）。

我们将检验这些模型中的一个——仅有起点约束的单约束模型。这可能是一个用于预测从工作地到居住地之间交互活动的模型，例如我们将在第9章所讨论的已知起点地区工作分布的情形。那么，Kj=1，∀j，模型为：

此类模型的关键问题是，我们不仅能够预测i区与j区之间的交互活动，而且可以预测其落在终点区的概率，如式

由此我们可以得出终点区的总流。

如果我们放弃起点和终点约束，模型变成与我们开始于方程2.9的传统引力模型相似的形式。但是，要生成常见的标准引力形式的模型，其中每个起点和终点区集群出现，分别赋予Pi和Pj，我们需要修改熵方程，因而最大化

受限于方程2.32或2.33对概率的总标准化，以及平均对数出行成本

从这一系统生成的模型可以写作

这与我们开始于方程2.9的模型在形式上等价。出行成本或距离可以表达为以φ为比例参数的幂律形式。