空间交互模型族及其四种变体

一种简单的空间交互模型建立在牛顿万有引力定律基础上，将流表达为任意两个位置——起点i与终点j上活动量之间的作用力。我们曾经在第1章的方程1.1和1.6介绍过这个模型，当时我们指出各种方式的人口互动都可以类比为引力。实际上，万有引力定律是牛顿第二运动定律——力等于质量乘以加速度的推广，但考虑到了两个物体i和j或由规模（或人口）定义的两个质点Pi和Pj，并考虑到了两者之间的阻碍因素。这个定律可以通过方程1.6重新表述为：

其中，Tij是位置i与j之间的相互作用力或能量流，dij用于度量诸如i与j之间距离之类的阻碍作用，K代表一个标度常数（在经典力学中被称作引力常数），φ是一个参数，在纯粹标度情况下通常等于2，也就是说与距离的平方成反比。这一模型首先为拉芬施泰因（1885，1889）在提出和验证迁徙定律时所使用。

这个模型透露的一个关键信息是：如果距离或阻力矩阵｛dij｝是对称的，那么其结构也是对称的，也就是说dij=dji，∀ij。但是总的来说，这些模型的实践发展并没有深入研究或应用这种对称性，为了将其应用于真实的流系统，必须考虑到质点（实际上代表一个点或一片地区大部分所在的地理位置）所具有的多种属性引起的变形。对这些模型的最完整的陈述是威尔逊（Wilson，1970）提出的空间交互模型族。他提出了四种变体，方程2.9所代表的模型是其中第一个，也是最具一般性的一个。这些变体将要预测的流限定为与系统中所观察到的活动整体——总体交互T有关的各种外在位置信息；总体交互与出度节点——起点i，Oi相关；总体与入度节点——终点j，相关。这些总体由方程2.1到2.3所表述的流矩阵｛Tij｝中的三个制约因素所定义，尽管有些唠叨，我还是要将起点和终点的人口案例重新表述为：(www.xing528.com)

和

可以定义四种一般模型。第一种是无约束模型（unconstrained model），起点和终点都没有约束，也就是说方程2.10和2.11不适用，但总体交互活动由方程2.12所约束。在这种情况下，整个系统只有一个常量，我们称之为K（=Ki=Kj，∀ ij），这样就可以得到方程2.9的引力模型。第二和第三个变体有时候被称作区位模型，分别受起点约束或终点约束，方程2.10或2.11与之相应。在这两个模型中，起点或终点（Ki或Kj）只有一个是常量，从而确保了方程2.10或2.11得以成立。威尔逊（1970）把这些模型命名为起点约束模型（origin-constrained model）和终点约束模型（destination-constrained model）。族中的第四种模型是当方程2.10和2.11中的起点和终点均受限，模型中出现两组常量Ki和Kj。这被称作双约束模型或起点-终点约束模型（origin-destination-constrained model）。应当注意到在这个模型族中，对于第一个无约束模型来说，从出度节点i出发并到达入度节点j的每一连接ij上的流都需要预测。在单约束模型中每组节点中的一个受约束，对起点约束模型来说，流出到不同终点而不是流入终点的活动受到约束，需要通过模型进行预测，而终点约束模型则相反。在双约束模型中，起点和终点的活动都已给定而无须预测，因而终点在于出行的分配。最后这个模型在传统上就是交通流模型将出行分配到网络的基础，此前我们曾经做过可视化呈现。