城市规模、密度与相互作用的比例缩放及其建模方法

我们将检验这些定律中的其中四条，以阐述它们之间的相似性和不同点。但是，首先我们需要对比例缩放有一个明确的定义。假设有一个函数y（xi），对于不同的空间位置或地区i，某一属性与另一属性xi相关。如果我们将xi变化λ倍，当函数的值成比例变化，即y（λxi）∝y（xi），则可以说这个函数发生了“比例缩放”。唯一符合的函数是幂律，可以写成，其中的指数α可以是任何值。然后对这个函数增加一个比例λ，可以得到：

从这个方程中可以很清楚地看到，“新”函数y（λxi）是与旧函数y（xi）成比例的。

城市属性随规模与彼此关系变化的方式是最重要的比例定律之一。这就是马歇尔定律，从聚集中产生规模经济。这也是异速生长，意味着质的变化，通常伴随着生物种群的形态变化，某种动物或植物不得不对总量进行自我调节以符合线性发展。最简单的方式是考察城市的用地规模Ai是如何随着城市人口Pi的变化而变化的。比如，如果城市在二维平面上扩张的同时也在向第三维度扩展，我们可以认为城市的增长与人口的关系是，其中di是线性维度的。当然，用地的增长是与这个维度的平方相关的，即，故人口与用地的关系是：。这条幂律是一个正异速生长的例子，因为幂大于1。假如人口是与用地等比例变化增长的，我们则认为这是等速生长，而且有足够的证据表明异速生长系数，即上述关系中的幂指数更接近1而非3/2。如果幂指数小于1，则是负异速生长。因此，异速生长可用于研究规模和形态变化关系（Bonner，2006）。无疑，相对于平面来说，人口向第三维度的增长给形态度量带来了变化，但在这个幂次定律中，更为普遍的是考虑如何反映规模经济和非经济活动。例如，有很多证据表明收入Yi的增长比例高于人口增长比例，即：

其中α＞1。而道路空间等物质基础设施的增长比例低于人口，即α＜l。这分别反映了正的和负的异速生长（Bettencourt、Lobo、Helbing、Kuchnert and West，2007）。

另一个与规模相关的定律涉及多种对象，比如城市、公司、收入等的规模分布，并且与有限资源下竞争带来的分布现象有关。例如，在中心地理论的层级体系中的城市分布，就是在等级为s人口数为Ps的城市的分布频率关关的幂次定律，一般可以表示为：

其中的幂指数ζ总是大于1。其更严格的形式是。实际上，用累积分布的等级rs来表达这种频率更为方便，将典型的等级规模分布表示为：

如果ζ=2，则，就变成了纯粹的齐普夫定律，最初在齐普夫的《人类行为与最小努力原则》（1949）中提出。这就是所谓的等级规模规则，不仅应用在城市规模和相关事物如收入和公司规模中，也可以应用于巴拉巴希（2002）称为“无比例”网络的节点规模变化。曼德博（Mandelbrot，1982）认为它是构成分形现象的一个基本规模关系，通过齐普夫定律可以很容易看到为何这个幂次定律是无尺度的。如果我们将等级r直接翻倍至2r，规则就变成了2-1Ps（r）。简单来说，人口规模按比例变化。第2等级的人口是第1等级人口的一半，以此类推。有很多模型可以生成规模等级关系：如比例效应和偏好依附，以及通过模块化和常规方式将腹地分隔为相互排斥的细分地块，或是针对人口密度进行多种假设，从而将齐普夫、杜能以及托布勒定律联系在一起。这也将市际的中心地理论以及市内的城市经济都与规模变化联系起来（Simon，1955；Gabaix，1999；Rozenfeld、Rybski、Andrade、Batty、Stanley and Makse，2008）。贝里和奥可丽兹-可扎因（Berry and Okulicz-Kozaryn，2012）对这些概念进行了非常好的综述和扩展，说明了此类比例定律的重要性，并持续地发展我们这门新科学。(www.xing528.com)

涉及城市中和城市间活动的分布时，规模变化跟密度和相互作用相关，这点我们在前面章节中已经提到。相互作用的影响的最纯粹形式就是梅特卡夫定律，这也是人们为什么追求创新、进行创意乃至收入增长比例超过人口增长的原因之一。对于人口数P，其“潜在相互作用”数量是P2。这些数量中只有一部分可能真正实现，但是因为人口P中的每个人都会与其自身发生作用，那么实际发生的相互作用数T与人口数的关系是P≤T≤P2。如果排除自身相互作用，且双向的相互作用只记一次，那么可能的最大值变为T=P（P-1）/2。当然，随着城市人口的增长，城市中发生相互作用的面积也会随之扩大。进行相互作用的最远路程是与距离成正比的，如果区域的半径为d，那么T=P（P-1）/2d，相互作用数下降到引力场T≌（P/d）2。正如在前面提到的邓巴（1992）数，我们或许可以认为对任意可以相互作用的人口都具有一个恒定比例ξ，潜在的相互作用数量位于ξ（P2/d2）≤T≤ξ（P2/d）范围内。如今，对于创意活动来说，更需要相互作用潜力而不是单纯的人口规模，因此也就知道为什么收入及其相关属性相对于人口增长呈现超线性（或正异速生长）的增加。

接下来的问题是如何对相互作用进行建模。我们已经阐述过两个不同地点的相互作用通常采用万有引力模型，其一般形式为：

其中K为常数，包括了影响相互作用发生的多个方面。φ通常是一个大于1的参数，反映了距离对相互作用的阻力（Wilson，1970）。这个模型是典型的规模变化模型，如果我们将阻力加倍为（2dij）-φ，相互作用就变为2-φTij。这个相互关系模型具有很高的通用性，已经在土地使用交通模型中应用了多年，并且还会继续使用下去。很容易可以看出，从这个模型中可以根据密度推导出杜能定律。如果假设在初始中心为P0，例如CBD区，与这个中心距离为d0j的其他地点为Pj，那么可以通过P0 Pj的关系方程1.6将人口密度表示为：

我们可以将这些定律联系起来，或者至少提供将它们联系起来的方式。如果我们假设人口密度成比例变化，而这个人口数出现的频次是由具有初始中心0的环形城市周长fj=2πd0j所给出的，可以很清楚地看到，人口ρj的频次，这就是齐普夫定律在市际层面的应用。将其进一步扩展到中心地系统中，我们需要相应的规则来生成从最小到最大地点的层级体系，而多组的人口ρj可以被设计用于生成连续的规模等级尺度。距离和道路空间是两个变量，经过一些处理我们可以看到，在人口规模增长时出现多种超线性关系，这与我们在现实城市中的观察也是一致的（Bettencourt、Lobo、Helbing、Kuchnert and West，2007）。这是一个尚未成熟的综合方法，还需要其他人提出更加详细的论证。我们在此更加关注应用。而像这门新科学中很多其他内容那样，还需要未来的很多研究来完善这部分理论。

在第2章中，我们将对这些关系进行更加详细的阐述，并探索如何对城市中的流系统进行建模。但在这里，我们强调上面提到的这些比例关系是相互联系的。然而，将它们以明确的方式联系起来仍然有不少挑战，因为它们是从不同角度反映的城市系统。我们并不试图为城市系统建立一个完整的或是统一的比例缩放理论，因为这样会偏离我们的中心任务而去解释城市理论。需要知道的是，比例定律贯穿了这门科学的方方面面，对探索城市系统结构的诸多特性来说有重要帮助。