参数的点估计方法与应用

点估计

1.估计量与估计值

定义1 若θ是总体X的待估参数，用样本（X1，X2，…，Xn）的一个不含任何参数的样本函数来估计θ，称为参数θ的估计量；用样本的一组观察值（x1，x2，…，xn）可计算出估计量的相应值（x1，x2，…，xn），称为参数θ的估计值，记作.

估计量是样本函数，具有双重含义：既是一个随机变量，又是估计量的观察值.对于不同的一组观察值，估计值一般是不同的.

定理1 样本均值作为总体分布的数学期望μ的估计量，样本方差S2作为总体分布的方差2σ的估计量，即

【例1】为估计一批木材的横纹抗压强度，随机抽取10个进行试验，得数据如下（单位：N/cm2）：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469.试估计这批木材横纹抗压强度的均值和方差.

【例2】为测试某仪器中的电子元件的使用时间，设总体X服从指数分布，其概率密度为

其中λ未知.抽取容量为5的样本值为1 002，1 004，1 005，998，996，试用点估计法估计λ的值.

2.估计量的评价标准

估计量是用来估计某个未知参数的，随着抽样的不同，得到的样本值也不同，估计量的值也会发生变化，故一次的估计值不足以评价估计量的优劣.因此对于估计量的选择，总是希望在多次估计中能够在被估参数的真值附近波动，且波动尽可能小.这样对一个估计量的好坏，有以下三种评价标准.

1）无偏性

定义2 设（X1，X2，…，Xn）是未知参数θ的估计量，若E（）=θ，则称为θ的无偏估计量.

在科学技术中，E（）-θ为估计θ而产生的系统偏差，无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求，其实际意义是指估计量没有系统误差，只有随机偏差.例如，当用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一个统计问题重复使用不会产生系统误差.

定理2 设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，且E（X）=μ，D（X）=σ2，则样本均值与样本方差分别是μ和σ2的无偏估计量.(www.xing528.com)

【例3】某工程公司对桥梁进行维修，对某一距离进行5次测量，结果如下（单位：m）：2 781，2 836，2 807，2 765，2 858.已知测量结果X服从正态分布，即X～N（μ，σ2），试求参数μ，σ2的无偏估计量.

2）有效性

定义3 设1（X1，X2，…，Xn）及2（X1，X2，…，Xn）都是未知参数θ的无偏估计量，若

则称1比2有效.如果对于给定的n，在θ的一切无偏估计量中，D（）的值最小，则称是θ的有效估计量.

注意：和Xi都是μ的无偏估计量，但是，所以样本均值较个别观察值Xi有效.实际上，样本均值是总体均值μ的有效估计量.

【例4】设X1，X2是来自正态总体X～N（μ，1）的样本，下列三个无偏估计量

哪一个最好？

解 计算三个无偏估计量的方差：

其中，D（2）最小，所以2比3和1有效，即2是三个无偏估计量中最好的一个.

3）一致性

定义4 设（X1，X2，…，Xn）是未知参数θ的估计量，如果随着样本容量n的增大，总能充分地趋近于θ，即对于任意ε＞0，总有

则称为参数θ的一致估计量.

根据大数定律可得，所以样本均值X是总体均值μ的一致估计量.