全概率与贝叶斯公式详解

1.全概率公式

定义 7 设A1，A2，…，An 是一完备事件组，事件B为事件A1+A2+…+An 的子事件，则

上式为全概率公式，当n=2时，全概率公式为

【例 10】有一批产品，其中甲车间产品占60%，乙车间产品占40%，甲车间产品的合格率是95%，乙车间产品的合格率是90%，求从这批产品中任意抽取一件为合格品的概率.

解 设A=“抽取的一件是甲车间产品”，则 =“抽取的一件是乙车间产品”.又设B=“抽取的一件是合格品”，由题意有

由全概率公式，得

2.贝叶斯公式

定义8 设A1，A2，…，An 是一完备事件组，事件B为事件A1+A2+…+An 的子事件，则

【例 11】在［例 10］中，如果从这批产品中任意抽取一件发现是合格品，求这件合格品是甲车间生产的概率.

解 所设事件同［例 10］，则要求的概率为，由贝叶斯公式得

习 题 3.1(www.xing528.com)

1.设某工人连续生产了4个零件，Ai表示他生产的第i个零件是正品（i=1，2，3，4），试用iA表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）没有一个是次品；（4）恰好有三个是次品；（5）至少有三个不是次品.

2.若事件AB=A，则事件A，B间有什么关系？

3.设P（A）=0.1，P（A+B）=0.3，且A与B互不相容，求P（B）.

4.一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率是多少？

5.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份.

6.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.

7.有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车来的概率分别为0.3、0.2、0.5，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为，求：（1）他迟到的概率；（2）如果他迟到了，则他是乘轮船来的概率.

8.用3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94、0.9、0.95，求全部产品的合格率.

9.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7、0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率.

10.对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若击中飞机三次，则飞机必被击落.求射击三次而飞机未被击落的概率.