【例1】某厂生产甲、乙两种产品，每种产品销售后的利润分别为4 000元与3 000元.生产甲产品需用A、B两种机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙产品需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各1小时.若每天可用于加工机器的时间分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台才能使总利润最大？
解 设该厂生产甲产品和乙产品分别为x1台和x2台时总利润最大，由已知条件列出数据表，见表2-13.
表2-13
根据题意，则x1，x2应满足
以z表示利润，则得到利润函数为
所给问题的目标是要使线性函数z取得最大值（用max表示），则目标函数为
综上所述，本例题数学模型可归结为
这里s.t.是“subject to”的缩写，表示“在……约束条件之下”，或者“约束为……”，变量x1，x2称为决策变量.
【例2】一家昼夜服务的饭店，一天24小时分成6个时段，每个时段需要的服务员数见表2-14.(www.xing528.com)
表2-14
每个服务员每天连续工作8小时，且在每个时间段开始时上班，则最少需要多少名服务员？
解 设xi为第i时间段开始上班工作的服务员数（i=1，2，3，4，5，6），z为服务员总的人数，由题意得到如下数学模型：
以上两个实际问题的数学模型尽管问题不同，但都有以下共同特点：
（1）每个模型都有一组可控而未知的变量，称为决策变量，经常使用带不同角标的英文字母表示，其取值一般都是非负的；
（2）都存在一定的限制条件，称为约束条件，通常用一组线性方程或线性不等式来表示；
（3）都有一个目标要求的线性函数，称为目标函数，要求目标函数达到最大值或最小值.
一般地，约束条件和目标函数都是线性的，我们把具有这种模型的问题称为线性规划问题.
一般线性规划问题模型可以表示为以下形式：
决策变量、约束条件以及目标函数是一个线性规划问题数学模型必须具备的三大要素.满足约束条件的一组变量的取值：
称为线性规划的一个可行解，使目标函数取得最大（或最小）的可行解称为最优解，此时，目标函数的值称为最优值.
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