应用中的经济函数导数及边际函数值

经济学中，将经济函数的导数称为边际函数.如需求函数的导数称为边际需求函数，供给函数的导数称为边际供给函数，总收入函数的导数称为边际收入函数，总利润函数的导数称为边际利润函数.

一般地，经济函数y=f（x）的边际函数y′=f′（x）在点x0处的函数值f′（x0）称为这个函数在x=x0处的边际函数值，它表示在x=x0处产生1个单位改变时，y相应地变化了f′（x0）个单位.

1.边际成本函数

总成本函数C（q）=C0+C1（q）的导数称为边际成本函数，它的经济意义为当产量为q时，再生成1个单位产品所增加的成本.

【例 6】已知某商品的总成本函数为（元），试求（1）固定成本和可变成本；（2）边际成本函数；（3）产量为200时的边际成本；（4）说明其经济意义.

解 （1）固定成本和可变成本.

由已知得固定成本C0=100（元），可变成本

（2）边际成本函数.

（3）产量为200时的边际成本.

（4）经济意义.

产量为200时，再生产1个单位产品总成本要增加100元.

2.边际收入函数

总收入函数R（q）=qp（q）的导数R′（q）=qp′（q）称为边际收入函数，它的经济意义为当销量为q时，再多销售1个单位产品所增加的收入.

【例 7】设某商品的需求函数为q=300-10p，求：（1）边际收入函数；（2）销售量为100时的平均收入和边际收入.

解 （1）边际收入函数.

由已知得价格

总收入函数为(www.xing528.com)

则边际收入函数为

（2）销售量为100时的平均收入和边际收入.

3.边际利润函数

总利润函数L（q）=R（q）-C（q）的导数L′（q）称为边际利润函数，它的经济意义为当销量为q时，再多销售1个单位产品所增加的利润.

因为L（q）=R（q）-C（q），由导数的运算法则可知

所以，边际利润等于边际收入减去边际成本.

【例 8】某公司每月生产q吨煤的总收入函数为R（q）=100q-q2（万元），而总成本函数为（万元）.试求：（1）边际利润函数；（2）q=10时的边际成本、边际收入、边际利润.

解 （1）边际利润函数.

由题意得边际收入函数为

边际成本函数为

所以，边际利润函数为

（2）q=10时的边际成本、边际收入、边际利润.

习 题 1.4

1.鸡蛋的收购价为6元/千克时，某收购站每月能收购5 000千克.若收购价每千克提高0.2元，则收购量可增加500千克.求鸡蛋的线性供给函数.

2.某种商品的需求函数是Q=200-5p，供给函数是S=25p-10，求该商品的市场均衡价格和市场均衡商品量.

3.设某厂每天生产某种商品x单位的总成本函数为C（x）=5x+200，总收入函数为R（x）=10x-0.01x2，试求边际成本函数、边际收入函数和边际利润函数.