导数概念及其应用场景

导数的概念

【引例 1】一物体做直线运动，则位移s为时间t的函数，记作s=s（t）.从时刻t0到t0+Δt的时间间隔内，如图1-1所示，物体的平均速度为

图1-1

当物体做匀速直线运动时，它的平均速度就是t0时刻的瞬时速度.但对于变速直线运动，它只能近似地反映t0时刻的瞬时速度.显然对于确定的t0，越小，就越接近t0时刻的瞬时速度.

当Δt→0时，若的极限存在，则称此极限值为物体在t0时刻的瞬时速度，即

【引例 2】设点M是曲线C上的一个定点，在曲线C上另取一点N，作割线MN.当动点N沿曲线C向定点M移动时，割线MN的极限位置MT称为曲线C在点M的切线，如图1-2所示.

图1-2

设曲线C的方程为y=f（x），记M（x0，y0），N（x0+Δx，y0+Δy），则割线MN的斜率为

式中，β为割线MN的倾斜角.当点N沿曲线C

运动到趋向点M时，Δx→0.如果Δx→0，上式的极限k存在，即

则此极限k就是切线的斜率.这里，k=tanα，α是切线MT的倾斜角.

虽然上述两个引例的实际意义不同，但从数量关系来看，它们都是函数的增量与自变量增量之比的极限.

1.导数的定义(www.xing528.com)

定义 1　设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量在点x0处有增量Δx时，相应的函数有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果Δx→0，极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，称此极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作，即

也可记作f′（x0）、

如果极限不存在，则称函数y=f（x）在点x0处不可导.

定义 2　如果函数y=f（x）在区间（a，b）内的每一点都可导，则称函数y=f（x）在区间（a，b）内可导.这时对于区间（a，b）内的每一个x值，都有唯一确定的导数值f′（x）与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为函数y=f（x）对x的导函数，记作y′、f′（x）、，即

注意：函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导函数f′（x）在点x=x0处的函数值，即

今后在不发生混淆的情况下，导函数也简称为导数.

2.求导数的一般步骤

根据导数的概念，求函数的导数可以分为以下三个步骤：

【例1】求常函数 y=C（C为常数）的导数.

解 （1）增量Δy=f（x+Δx）-f（x）=C-C =0；

（2）比值；

（3）极限，即（C）′=0，也就是，常数的导数为0.

【例2】求函数y=xn （n∈N）的导数.

【例3】求函数y=sinx的导数.