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数学作文展示:三项式系数总和为3n的性质

时间:2023-05-15 理论教育 版权反馈
【摘要】:这不正是一篇非常优秀的数学作文的展示吗?性质3:三项式系数的总和等于3n。

数学作文展示:三项式系数总和为3n的性质

三、数学作文的写作

(一)回顾展示型

当一段时间的学习结束,教师可以让学生回顾一下数学学习的情况,尤其是解决重点、难点问题的学习过程,从中选择自己最感兴趣、印象最深的一点,有时甚至于一节课师生的共同讨论与研究,学生用手中的笔将当时的思维过程叙述出来、展示出来。甚至包括在解题过程中所走的弯路,中间经过的曲折,如自己的思维怎样受阻,随后又怎样突破自己的思维局限,最后使问题获得了解答。这样写出来的文章可读性很强,其他的学生还可从中受益。与此同时,教师还可以了解学生掌握知识的情况,从而改进自己的教学。

(二)总结归纳型

当学生学完某一方面的内容,教师可以让学生以数学作文的形式总结、归纳自己的学习成果,并在今后的数学学习活动中加以运用,这比由教师简单、机械地传授学习方法更有意义。经过学生再创造,认识会更加深刻,理解会更加深入。如一位学生对“函数定义域的求法”做了如下总结。

1.已知函数y=f(x),求其定义域。

(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;

(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;

(3)如果f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)

例1:求下列函数的定义域.

例2:求函数img12的定义域。

解:

⇔−4≤x<−π,或0<x<π

所以原函数的定义域为{x|−4≤x<−π,或0<x<π}。

2.已知函数y=f(x)的定义域,求复合函数y=f [g(x)]定义域。

若已知函数y=f(x)的定义域x∈[m,n],则在求复合函数

y=f [g(x)]定义域时,应抓住函数f [g(x)]的意义,“以g(x)充当原函数f(x)中的自变量x而得到y=f [g(x)]”。即由m≤x≤n,就有m≤g(x)≤n,解此不等式,便得复合函数定义域y=f [g(x)]定义域。所以复合函数y=f [g(x)]定义域为:{x|m≤g(x)≤n}。

例3:若函数f(x)的定义域为[0,4],求f(x2)的定义域。

解:令t =x2,则f(t)与f(x)的定义域相同,

所以,0≤x2≤4,即−2≤x≤2。

所以,原函数的定义域为:[−2,2]。

例4:若函数f(x)的定义域为[0,1],求g(x)=f(x+a)+f(x−a)的定义域(a≤0)。

解:由img14

从而g(x)的定义域为[−a,1−a]I[a,1+a]。

Qa≤0,∴−a≥a,1+a≤1−a

(1)当a=0时,g(x)的定义域为[0,1]。

(2)当0≠a时:

①当a<−a<1+a<1−a即img15<a<0时,g(x)的定义域为[−a,1+a]

②当a=1+a即a=img16img17时,g(x)的定义域为。

(3)1+a<−a≤1−a即a<img18时,g(x)不存在。(www.xing528.com)

3.已知复合函数y=f[g(x)]的定义域,求函数y=f(x)的定义域。

若已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为[m,n],则在求函数y=f(x)的定义域时,应抓住“以x充当f[g(x)]中的g(x)而得到y=f(x)”。即由m≤x≤n,得到g(x)的取值范围,就是f(x)的定义域。所以,函数y=f(x)的定义域为:{x|x=g(t),t∈[m,n]}=。

例5:已知函数f(2x)的定义域为(4,3)−,求函数y=f(x)的定义域。

解:43x−<<Q

∴2−4<2x<23,即img19<2x<8

所以,函数y=f(x)的定义域为(img20,8)。

这不正是一篇非常优秀的数学作文的展示吗?你想学生经过如此这般的思考,对问题的理解会不深入吗?

(三)探究发现型

在数学教学过程中,教师要根据学生的年龄特征和认知水平,设计探索性和开放性的问题,多给学生一些自主探究的机会。当学生经过探究,发现、解决了某一数学问题,发现了某一数学规律,教师应热情鼓励,引导学生用笔记录下来,让学生享受成功的快乐。

又如,在《“m项式”的展开式——“二项式定理”的推广》(许绍甫)中,把二项式定理中的“二项式”推广到“三项式”,进而推广到一般的“m项式”,得出了相应的展开式,研究了展开式的项数、展开式系数的性质,最后介绍了“m项式”的展开式在概率中的应用。把平面杨辉三角推广到空间的三棱锥

1.三项式的展开式

命题:对于任意的正整数n有:(a+b+c)n=img21an−i−jbicj=img22T(i,j)an−i−jbicjn

2.三项式系数的性质

性质1:Tn(i,j)=Tn−1(i,j)+Tn−1(i−1,j)+Tn−1(i,j−1)这条性质可视为“杨辉三角”推广到“三维空间”。

性质2:三项式系数具有(轮换)对称性,即Tn(i,j)=Tn(j,i)。

性质3:三项式系数的总和等于3n

性质4:沿等边三角形上的任意一条线(边或网格)来看,越往中间的对应的点相应的三项式系数越大;反之,则越小。线上对应的中间点相应的三项式系数在该线上最大。

推论1:等边三角形不同线的中间点距此三角形的中心越近,则它对应的值就越大;反之,就越小。

推论2:如果三角形的中心是三项式系数的对应点,那么中心的对应值为三项式系数中的最大值;如果三角形的中心不是三项式系数的对应点,那么中间覆盖它的最小三角形的三个顶点对应的三项式系数相等,且为三项式系数中的最大值。

这就是不折不扣的学生的理解,是学生自己建构的“数学意义”,因为它赋予了学生的体验,蕴涵了学生的智慧,与单纯的“形式化”训练下的“双基”相比,它更具有生命气息与生命活力,更富有发展和成长的意义;它是满含学生情感的“双基”,是学生能够用而且愿意用的“双基”,是学生生活的“双基”。

(四)求异创新型

培养学生的创新意识和实践能力是素质教育的核心内容。在数学教学过程中,教师要尊重学生的创造性,鼓励学生求异创新。当学生在数学学习活动中有了新颖独特的解题方法、与众不同的解题思路,如果让学生写下来,就是一篇有价值的数学作文。有时学生的思维真是超出了我们老师的想象。

例如,在《最短路线问题的两种解法、应用及推广》(尹敏)一文中,给出了以下结论:

题型1:规则矩形网格的最短路线问题。

结论1:对于m×n阶矩形格(m,n分别为竖线和横线数,且m,n≥2),点A到点B的最短路径数等于杨辉三角中对应的直线m和n交叉处的数字,此数字可用组合数img23表示。

结论2:在n×n阶矩形格中,点A到点B的最短路径数等于杨辉三角的中轴线上的数字。若在mn×阶矩形格中,点A到点B的最短路径数等于两边数字分别为m、n的V字型的顶点处的数字。

结论3:m×n型网格中被分成pq×和(m−p)×(n−q)矩形网格中的最短路线的条数是img24

结论4:在一个由m×n个矩形组成的道路网格中,不经过m×n矩形网格被分成pq×和(m−p)×(n−q)矩形网格处的点,从矩形的一个顶点走到对角线的另一个顶点的最短路线有img25条。

数学作文提出后,很受学生的欢迎,每年都有数十名学生的优秀数学作文被我们归纳成集,成为素质教育改革的一道独特风景线!

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