抽样方案的操作特性曲线（OC曲线）及其意义

10.2.5　抽样方案

抽样方案规定了每批应检验的单位产品数（样本量）和有关批接收准则的一个具体方案。抽样检验的目的是通过样本推断总体。样本是样品的集合，一个样本可由一个样品组成，也可由多个样品组成。欲达到通过样本推断总体这样的目的，要通过三个步骤，即抽样、检验、推断。其中抽样这个步骤含有两个内容，即怎么抽？抽多少？检验这个步骤与抽样检验的理论没有关系，不同的产品、不同的质量特性使用不同的检测设备，有不同的检验方法。推断，即用对样本的检测结果来对总体进行推断。抽多少与怎样推断就构成了抽样方案。

10.2.5.1　计数型抽样方案

（1）单次抽样方案（single sampling inspection）　单次抽样方案是最简单的计数验收抽样方案。单次抽样方案也称为一次抽样方案，通常用（N，n，C）表示之。即从批量为N的交验产品中随机抽取n件进行检验。并且预先规定一个合格判定数C，如果发现n中有d件不合格品，当d≤C时，则判定该批产品合格，予以接收；当d＞C时，则判定该批产品不合格，予以拒收。

例如，当N＝100，n＝10，C＝1，则这个单次抽样方案表示为（100，10，1）。其含义是指从批量为100件的交验产品中，随机抽取10件，检验后，如果在这10件产品中不合格品数为0或1，则判该批产品合格，予以接收；如果发现在这10件产品中有2件以上不合格品，则判该批产品不合格，予以拒收。

（2）二次抽样方案（double sampling inspection）　如前所述，单次抽样方案涉及3个参数，即（N，n，C）。而二次抽样方案则包括5个参数，即（N，n₁，n₂；C₁，C₂）。其中：n₁，抽取第一个样本的大小；n₂，抽取第二个样本的大小；C₁，抽取第一个样本时的不合格判定数；C₂，抽取第二个样本时的不合格判定数。

二次抽样的操作程序为：在交验批量为N的一批产品中，随机抽取n₁件产品进行检验。若发现n₁中的不合格数为d₁，则：若d₁≤C₁，判定批产品合格，予以接收；若d₁＞C₂，判定批产品不合格，予以拒收；若C₁＜d₁≤C₂，不能判断。在同批产品中继续随机抽取第二个样本n₂件产品进行检验。若发现n₂中有d₂件不合格品，则根据（d₁＋d₂）和C₂的比较作出如下判断：若d₁＋d₂≤C₂判定批产品合格，予以接收；若d₁＋d₂＞C₂，判定批产品不合格，予以拒收。

例如，当N＝1000，n₁＝36，n₂＝59，C₁＝0，C₂＝3，则这个二次抽样方案表示为（1000，36，59，0，3），其含义是指从批量为1000件的交验产品中，随机抽取第一个样本n₁件进行检验，若发现n₁中的不合格品数为d₁：若d₁≤0，（实际为零），则判定该批产品合格，予以接收；若d₁＞3，则判定该批产品不合格，予以拒收；若0＜d₁≤3（即在n₁件中发现的不合格数为1件、2件或3件），则不对该批产品合格与否作出判断，需要继续抽取第二个样本n₂。若处于上述情况，则从同批产品中随机抽取n₂＝59件进行检验。记录n₂中的不合格品数d₂；若d₁＋d₂≤3，则判定该批产品合格，予以接收；若d₁＋d₂＞3，则判定该批产品不合格，予以拒收。

（3）多次抽样方案（multiple sampling inspection）　如前所述，二次抽样是通过一次抽样或最多两次抽样就必须对交验的一批产品作出合格与否的判断。而多次抽样则是允许通过3次以上的抽样最终对一批产品合格与否作出判断。多次抽样方案也规定了最多抽样次数。如3次抽样方案，在上述方案中规定了合格判定数AC和不合格判定数Re。例如，在第三次抽样检验后，若三个样本的累积不合格数（r₁＋r₂＋r₃）≤1时，则判定该批产品合格，予以接收；若（r₁＋r₂＋r₃）≥3时，则判定该批产品不合格，予以拒收，以此类推。

10.2.5.2　计量型抽样方案

计量型抽样方案的形式是（n；k），它用样本均值和样本标准差对批作出推断，与计数型抽样方案相比，在相同的判断精度下，计量型抽样方案比计数型抽样方案所需的样本量更小。

另外，按照产品特点和生产特点也可以分成逐批抽样方案和连续型抽样方案。按照抽样方案可否调整也可以分为调整型抽样方案和非调整型抽样方案，而非调整型抽样方案根据实际需要又可以分为标准型抽样方案和挑选型抽样方案。本章的目的在于阐述验收抽样方案的基本原理和方法，所以，并不对上述抽样方案一一详细介绍，必要时可以查阅有关专业书籍资料。

10.2.5.3　抽样方案的统计分析(www.xing528.com)

（1）接收概率L（P）　如前所述，（N，n，C）代表了一个单次抽样方案，在实际中往往关心的问题是采用这样的抽样方案时，假设交验批产品的不合格率为P，那么批产品有多大可能被判为合格批而予以接收；或者说被接收的概率有多大？通常把接收概率记作L（P），根据概率统计原理可以计算L（P）的值，由概率的基本性质可知：0≤L（P）≤1。根据上述条件，当n中的不合格品数r≤C时，批产品被判为合格，予以接收，则接收概率为：L（P）＝P（r≤C）

例如：已知产品批不合格率P＝0.05，求单次抽样方案（100，10，0）的接收概率（意思是：已经知道不良率为5%，从100个产品中抽取10个样品，求抽检到不良品的概率）。

由于N≥10n时可二项分布作近似计算，得L（P）＝0.599［用泊松分布同样可以计算L（p）］。

（2）单次抽样方案的操作特性曲线OC（operating characteristic curve）　对于具有不同的不合格率P_i的交验批产品，采用任何一个单次抽样方案（N，n，C），都可以求出相应的接收概率L（P_i），如果以P_i为横坐标，以L（P_i）为纵坐标，根据L（P_i）和P_i的函数关系，可以画出一条曲线。这条曲线就是这一抽样方案的操作特性曲线，简称OC曲线。可以说，有一个抽样方案（N，n，C），就有一条OC曲线，而且是唯一的一条OC曲线与之对应。抽样方案的OC曲线直观地反映了采用该方案对不同质量水平的批产品接收和拒收的概率。所以，一条OC曲线代表了一个抽样方案对所验收的产品质量的判断能力，也称为抽样方案的特性。

（3）二次抽样方案的操作特性曲线　二次抽样方案的OC曲线比单次抽样方案的OC曲线要复杂得多。因为是两次抽样，所以最后能画出两条曲线，第一条OC曲线代表第一次抽样时，接收概率和产品不合格率的函数变化关系。第二条OC曲线代表经过两次抽样，接收概率和产品不合格率的函数变化关系。

（4）OC曲线的特点　一个抽样方案（N，n，C）唯一对应着一条OC曲线，当方案中N，n，C三个参数有任何一个改变时，OC曲线的形状也随之改变，因而方案的性能也要发生变化。

1）当样本大小n和合格判定数C一定时，批量N对OC曲线的影响很小。因此，常常只用（n，C）两个参数来表示一个单次抽样方案。事实上，如果将单次抽样方案（∞，90.0）的OC曲线绘在图中，会发现尽管N＝∞，但该抽样方案的OC曲线与抽样方案（900，90.0）的OC曲线几乎重合。

2）当批量N和样本大小n一定时，合格判定数C对OC曲线的影响：随着C变小，OC曲线左移，而且曲线变陡，这说明抽样方案的性能发生了变化。对于同一批交验产品，其不合格率为P_i，不合格判定数C越小的方案，其接收概率也越低，说明抽样方案变得严格了。至于严格的程度和合理性，应该从实际出发，根据用户（需方）的质量要求和生产者的平均质量水平，对不同的抽样方案的OC曲线进行比较分析，确定合理的样本大小n和合格判定数C。另一方面，随C的变大，接收概率在同一P_i水平也增大，说明抽样方案变宽松了。

3）当批量N和合格判定数C一定时，样本大小n对OC曲线的影响：随着n变大，OC曲线变陡，抽样方案变严格了。反之，随着n变小，OC曲线倾斜度逐渐变缓，方案变宽松。可见，同一批交验产品，由于采用样本大小不同的两个抽样方案，其接收概率却相差0.869，这是特别应该引起注意的。由此，我们可以通过样本大小n的变化研究采用合理的验收抽样方案。

4）关于C＝0的抽样方案我们常常凭直觉认为C＝0的抽样方案似乎用来验收批产品质量最为可靠和合理，因为C＝0意味着样本n中的不合格品数为0，这是一个完全错误的概念。首先，抽样具有随机性，样本n中不合格品数为0，不等于N中不合格品数为0。此外，C＝0的抽样方案，它们有共同的特点，那就是在P_i较小的时候，接收概率L（P_i）下降十分快，这样的抽样方案会拒收大量优质批，对生产方和用户都是不利的。因此，C＝0的抽样方案并不理想。恰恰相反，OC曲线告诉我们，相对n和C都大些的抽样方案一般比较合理。当然，在确定n和C时，要从具体情况出发，综合考虑各种因素的影响，特别是生产方的客观条件和用户的实际要求。

5）百分比抽样的不合理性　实际中常常应用一种样本大小n为批量N百分比的验收抽样方案，例如，样本大小n是批量N的10%，若批量N分别为900、300和90，则形成以下三种抽样方案：（900，90，0）、（300，30，0）、（90，9，0），这三种抽样方案代表了对产品批质量验收的不同特性。当P＝0.05时，根据二项分布概率计算公式，抽样方案1、方案2和方案3的接收概率定量分别为0.01、0.22、0.63，可见，对相同质量的交验批产品，三个抽样方案验收判断能力相差悬殊，这完全是由于批量N的变化引起的。受批量N大小的影响而导致对同批产品接收概率L（P_i）的很大差异，可以说是“人为”造成的结果。所以，百分比抽样是不合理的抽样方案，一般有经验的检验员，为了从一定程度上抵消这种影响，往往对批量大的交验批采取减小样本量，而对批量小的交验批则采用增大样本量，显然这样做法也是不科学的。在采用统计抽样方案以后，就使验收抽样方案进入了科学领地。