天然数字的神奇之旅

神奇的天然数字探索

谈到数字的趣处，这里有一则传说：从前有一个聪明的国王。一天，一个很受国王尊重的老学者来见他，他们谈得很愉快。国王说：“老先生，我这儿有一道很有趣的算术自测题。现在你先想一想你出生的月份，但不要告诉我。”那老学者立刻想到他是整整60岁，生于12月。

“用你出生的月份那个数乘2，得数再加5。”

国王说：“好了，再乘50。”“也完了。”

“再加上你的岁数。”“加完了。”

“减365。”“也减完了。”

“好了，告诉我得数吧。”国王说。

“1145。”老学者答道。

“谢谢你，”国王说：“你是60岁，出生于12月。”

“你是怎么知道的呢?”老学者惊奇地问。“你告诉了我得数是1145，我加上115，得数是1260，这就是说你的出生月份是12，而后两个数字60则是你的岁数。”

这里又有一例：请你想好任意一个四位正整数，使它的四个数字不全相同，例如4617，现在把这个四位数中的四个数字重新排列，使分别得到最大的四位数7641和最小的四位数1467。用7641减去1467，得到6174。这是一个奇异的数。

让我们再换一个数，比如1987年，按照上面所说的过程进行运算，得数并不是我们所希望的奇异的数6174。但是，请你不要着急，把上面的过程再重复两次，奇异的现象就又出现了：得数又是6174。我们把全部运算过程写成如下的形式：

1987 9871-1789=8082 8820-0288=8532 8532-2358=6174

现在我们再任意换一个数：4959，进行上述的运算过程：4959 9954-4599=5355 5553-3555=1998 9981-1899=8082 8820-0288=8532 8532-2358=6174

可以证明，任意一个四位的正整数，只要它的四个数字不全相同，那么按照上述运算步骤，至多重复使用7次，就会得到6174。如果不信，就请你自己试试看。

关于数字的神奇，1987年2月11日《世界科技译报》有则报道，说的是当时台北县汶止镇小学六年级学生江志雄，在玩电子游戏时，发现了一组数字排列上的奇妙变化，引起数学界人士重视。小志雄有一次在电子计算器上做数字游戏，他从1开始顺序把电键按到8时，不小心按成了9，使数字排列成“1 2 3 4 5 6　7 9”的顺序，他随意乘上9，屏幕上出现了一个奇妙的数字“1 1 1 1 1 1 1 1 1”，九个1排列在一起。他觉得很有趣，想进一步知道这八个依次排列的数字乘以其他数字会不会再产生其他奇妙现象。

经他不断研究，发现被乘数“1 2 3 4 5 6 7 9”只要乘数是“3”的倍数，积数就会呈现三个数字一循环的结果。当乘数是“9”的倍数时，乘积就会有“1 1 1 1 1 1 1 1 1”、“2 2 2 2 2 2 2 2 2”、“3 3 3 3 3 3 3 3 3”等规律性现象发生。并发现以上现象在做到乘数为“81”之后，规律便消失了。

例如，“1 2 3 4 5 6 7 9”乘3时等于“3 7 0 3 7 0 3 7”，乘6时等于“7 4 0 7 4 0 7 4”乘9等于“1 1 1 1 1 1 1 1 1”，乘12等于“1 4 8 1 4 8 1 4 8”，乘15等于“1 8 5 1 8 5 1 8 5”，乘18等于“2 2 2 2 2 2 2 2 2”。

当八位数的计算告一段落后，江志雄接着试图解开七位数“1 2 3 4 5 6 8”的奥秘，发现这个数乘以3的倍数，其积的尾数会有“4、8、12、16”等循环规律现象。以此类推，江志雄一直完成到两位数的计算，发现都会有循环规律的数字现象发生。江志雄的班主任指导他完成记录，并把这一发现提供给数学界人士参考，希望数学界人士能够解开这个谜。

这里又有一个自然数字探索，它不仅是个科学的数字，而且是个美的数字，几乎哪里有它，哪里就有美的存在——最和谐悦目的矩形，如书籍、衣橱、门窗等，其短边与长边之比是0.618；最优美的身段，如爱神维纳斯、雅典娜女神、“海姑娘”阿曼达等，其上身与下身之比是0.618；报幕员所站的最佳位置，是舞台宽度的0.618倍之处；世界最高建筑多伦多电视塔，楼阁之上与楼阁之下的长度之比是0.618；著名的埃菲尔铁塔，第二层之下与第二层之上之比是0.618；二胡要获得最佳音色，其“千斤”须放在琴弦长度的0.618倍之处；

更令人惊奇的是，巴托克的《两架钢琴奏鸣曲》，三个乐章的总拍数是6432个八分音符，它的“黄金分割点”——6432×0.618=3975个八分音符，正与作品的结构相适应（慢-快+慢-快），并且那么准确地落在第一和第二乐章的分界处，在一个八分音符上。

人类生活在客观世界当中，大自然的事物，大到宇宙、星球，小到中子、粒子，无不存在着数理关系。这些数理关系具有令人惊异的奥妙，处在自然界中的人类生活，一举一动都与数字有关。试想一下，每一个人，谁能脱离了数字而存在呢?那么我们不禁要问，这种数理关系是什么人为我们规定的?在客观世界当中，又有哪些数理关系还没有被人类所发现呢?大自然中的数字，其实就是最美妙的事物、最神秘的谜语，期待着人类去发现、去破解。

关于大自然所蕴涵的数字探索，数学家沈致远先生在1999年8月8日上海《文汇报》撰文指出：自然数1、2、3……是数学之起点，其他所有的数都是从自然数衍生出来的。自然数的实物原型可能是十个手指，否则我们不会采用十进位制。沈致远先生说，自然数均为正数，负数之引入解决了小数不能减大数的困难，例如1-2=-1。负数也是有原型的，欠债不就是负资产吗?所以负数概念的被发现恐怕与人类早期的商业借贷活动有关，然而负数本身无论发现还是未发现都是存在的。

零是数学史上的一大发现，其意义非同小可。首先，零代表“无”，没有“无”何来“有”?因此零是一切数的基础。其次，没有零就没有进位制，没有进位制就难以表示大数，数学就走不了多远。零的特点还表现在其运算功能上；任何数加减零，其值不变；任何数乘以零，得零；任何非零数除以零，得无限大；零除以零，得任何数。零的原型是什么?是“一无所有”还是“四大皆空”?(www.xing528.com)

零和自然数以及带负号的自然数统称为整数。以零为中心，将所有的整数从左到右依次等距排列，然后用一根水平直线将它们连起来，这就是“数轴”。每个整数对应于数轴上的一个点，这些点以等距离互相分开。在数轴上，负数和正数分列左右雁翅般地排开，零居中央，颇有王者气象。

分数的引入解决了不能整除的困难，例如1÷3=1／3。分数当然也有原型，例如三人平分一个西瓜，每人得三分之一。

沈致远先生介绍说，数轴上相邻两个整数之间可以插入无限多个分数以填充数轴上的空白，数学家一度认为这下子总算把整个数轴填满了，换句话说，所有的数都已被发现了。其实不然，并不是所有的数都可以以整数或分数来表示，最著名的例子就是圆周率。而分数，只能表示其近似值而非准确值。当人们将分数化为十进位小数以后，就发现了两种情况：一是有限位小数，例如1／2=0.5；另一种是无限循环小数，例如1／3=0.333……两者虽貌不同，但都包含有限的信息，因为循环部分只是重复原有的，并不包含新的信息。圆周率则根本不同：3.141592653589……既不循环也无终结，所以包含着无限的信息。

想想看!北京图书馆里的藏书浩如烟海，所包含的信息虽然极多，但仍是有限的，而圆周率却包含着无限的信息，怎能不令人惊叹!数学家将像圆周率那样无法用整数或分数表示的数称为“无理数”，无理者，不讲道理也!不知道为什么圆周率背了这么个恶名?沈先生为此曾写过一首题为《圆周率》的小诗为之抱屈，此诗刊载于1997年8月号《诗刊》，这里引其最后一段以飨读者：

像一篇读不完的长诗

既不循环也不枯竭

无穷无尽永葆常新

数学家称之为无理数

诗人赞之为有情人

道是无理却有情

天长地久有时尽

此率绵绵无绝期

自从祖冲之算出圆周率的数值介于“约率”22／7和“约率”355／113之间以来，一直有人在计算圆周率的更精确数值，近来利用计算机算到了小数点后两百多万位!但比起“此率绵绵无绝期”来，连沧海一粟也不如。就算用最快的超级计算机不停地算下去，一直算到地老天荒，也无法穷尽!此外还有人利用计算机将已算出的圆周率数值化为二进位数列后，对之进行了统计分析，发现它像随机数那样具有最大的不确定性。圆周率本是圆周率与直径之完全确定的比值，但它产生的无穷数列却具有最大的不确定性，我们不能不为大自然的神奇奥妙而感到惊讶和震撼!

加入了分数和无理数以后，数学王国更扩大了，在零这位国王两边雁翅排开的阵容就更加威武雄壮了。

有了无理数以后，原来的整数和分数统称为有理数。对数的寻求是否到此为止呢?数学家并不满足，继续孜孜以求，寻找尚未发现的新数，果然被他们找到了。发现的契机是研究一些数的平方根：4的平方根是2（2×2=4），这是早就知道的正整数，不足为奇；2的平方根是一个无理数，和圆周率类似，也不新鲜。-1的平方根是什么?这可不好办!大家都知道乘法的符号规则是：正正得正，负负得正，任何数的平方均为正数，据此-1的平方根就根本不存在。但不存在的东西可以创造出来!这就是科学的创新精神。数学家为此创造了“虚数”以符号i表示，并规定i的平方为-1，-1的平方根当然就是i了。这样一来负数开平方的难题就迎刃而解。例如-4的平方根就等于2i，即2乘以i。

引入虚数固然解决了负数开平方的难题，但也带来了另一个困难——虚数在数轴上没处摆。这迫使数学家创造出一根“虚数轴”，使之与改称为“实数轴”的原来之数轴相垂直。由虚、实两根数轴组成的平面称为“复平面”。实轴上的点是买数，虚轴上的点是虚数。复平面上的其余的点就是“复数”，它包含着实数及虚数的两个部分。零就是实轴与虚轴的交点，是整个复平面的中心，仍占有非常特殊的地位。从实数轴上的“雁翅排开”，发展到复平面上的“众星捧月”。无论数的概念怎样扩大，零的特殊的地位始终不变。难怪在网络上评选1000年来最重要的发明时，零也在被提名之列。沈致远先生为此写有一首咏零的小诗，题曰《零赞》：

你自己一无所有

却成十倍地赐予别人

难怪你这样美

像中秋夜的一轮明月

（原载《银河系》第25、26合期）

沈致远先生说，虚数和复数有没有实际的原型呢?乍看似乎“虚”无缥缈，“复”杂得很。其实虚数和复数都有原型：电工学中利用复数表示交流电，虚数代表虚功，使得电工学计算大为简化。如果说在电工学中引入复数只是为了计算方便，不用它也行，不过麻烦一点而已，那么就请看一看量子力学——量子力学中的波函数必须以复数表示，这不是简化计算的问题，而反映了微观粒子本性的实质问题；换言之，微观世界深层次的自然规律要求复数。谁说数学太抽象?即使抽象如复数，其应用也实际得很呢!

正如沈致远先生所说：从自然数到负数和零，再到分数、无理数和复数，数的发展史尚不知是否会有更新的篇章?是否还有未知探索等待人类去破解?由此可见，客观事物中存在的“数”这一隐秘可不算小!