易学象数与现代数学：从几何代数的发展谈起

易学象数与现代数学

摘　要

易学以象数为本，准象数以明其义理，未可舍象数而空言义理。故易学于今日，当与现代自然科学相并论。

凡自然科学既以实验为基础，更须以数学为理论及应用的基础。中国的易学象数与现代科学中的数学，有相近似的作用。

此论文简述中国历代的易学象数相应于西方数学的发展过程。象犹几何，数犹代数，其间有各种层次的结合。中国的规矩，即西方的圆规与三角尺以画成几何图形。中国的算筹，即计算数的工具，亦早能解方程。于数学的理论方面，西方重视几何学，且为三维空间所限，柏拉图以五个正多面体喻其哲理，欧几里得继之而成《几何原本》，维持了二千余年。直至建立非欧几何（1826），又产生了多维空间的概念（1844），方能打破思维的局限性而步入现代数学。至于在中国早有“六合之外”及“方外之游”的旷达思想，故除陶器及青铜器上的种种几何图形外，后世并不注意几何图形。于数学的理论，特别重视天干、地支、八卦、九畴、河图、洛书、阴阳、五行等各种有限无限的代数数列。因各数列的周期变化，及数列间合诸几何图形的对偶（dual）关系，不可能在三维空间内完成其变化的形象。就是这一原因，抽象的易学象数，迄今仍视之为神秘。

自爱因斯坦建立四维时，空连续区后，已可初步说明易学象数的神秘性。认识易学象数的关键问题，本以东南西北的空间方向，合于春夏秋冬的一年四时，且能抽象而取八七九六的时空数，认定八七为卦、九六为爻的阴阳变不变。于一至五为五行数，此阴阳五行的易学象数，自东周以来始终在广泛流伟。唯有此原理，宜自爱因斯坦建立相对论后，中国的有识之士，早已利用多维空间的概念以说明易学象数。于三十年代有薛学潜先生（1894—1969）提出易学当五维空间，可结合相对论与量子论。更有沈仲涛先生于四十年代有据于六十四卦的象数，提出易学当六维空间。然爱因斯坦仅止于四维，不主张再增加维数。或以数学角度论，维数可任意增加，决不限于五维、六维，理当明确所增加维数的意义。

此论文不仅叙述易学象数与维数的关系，主要部分在认识易学象数的理论本于无穷维，以会通相互对偶与自对偶。于应用时，可取相同维数间的对偶与自对偶的变化，及顶点与胞腔（cell）中心点的变化，即增减维数间的变化，以相应于主客观的事件。为简化计，本诸非阿几何（non‐Archimedeangeometry），仅取四维、五维、六维的正则多维空间。用直观几何的方法，殊可解释易学象数中所利用的各种代数数列。

《系辞》下有言：“古者庖牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，观鸟兽之文，与地之宜，近取诸身，远取诸物。于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”其后记录古史发展的次序，则曰：“庖牺氏没，神农氏作……神农氏没，黄帝、尧、舜氏作。”于舜之后，就是夏、商、周三代。据传统论，《系辞》上、下为孔子（前551—前481）所作，今详加考核，似非一人一时一地的作品。此即为战国时学者之言，地点在赵，约当赵武灵王改用胡服时（前307），考证另详。于长沙马王堆帛书本《周易》中，已有此文字出土（下葬于公元前168），其为先秦古说无疑。

因作者约后于孔子二百年，在此二百年中，中国的文化，尤其是有关自然科学的知识，正在突飞猛进，且已能本于三才的易道，进一步分析而为之分类总结。以今日的概念喻之，易学有系统学的思想。准此以究八卦的内容，来自六个方面，就是“天文学”、“地质学”、“动物学”、“植物学”、“人类学”、“物理学”。也就是本诸中国的三代文化，在其前已有始祖配天的思想，由是产生人参天地的三才之道，及战国时更能深入理解各种自然科学与三才易道的关系，合诸八卦所起的作用，属于数学。其作用有二，“通神明之德”者，人与天之结合，犹“形而上者谓之道”；“类万物之情”者，人与地之结合，犹“形而下者谓之器”。且易学之理，必当贯通三才，决不可固执于形而上与形而下，贵能使“道”、“器”两者，“化而裁之谓之变，推而行之谓之通，举而措之天下之民谓之事业”。此方为战国时代学易者对易学的认识，详以下表示之（表见下页）：

易道三才表

由上表可概见易学与自然科学的关系。惜自秦汉以降，道器变通之理每被忽视，“制器尚象”的易道，汉后仅见于《淮南子》（参阅《泛论训》、《修务训》等）。自刘安自杀（前122），读易者大半以“经学易”为主，对《易》与自然科学的联系，日趋疏远。以象数论，又逐步严分阴阳五行为二，则《易》与医的关系，本可由象数以见到的结合点亦失其依据。西汉本立于学官的京氏易，尚不认为是“经学易”，何况扬雄的《太玄经》等，由是“经学易”的内容日隘。唯一能保存传统易道的“易象”，又为王弼所扫，故或误认为王弼的易注就是易道，则《易》与自然科学，可云毫无关系。直至唐李鼎祚于宝应元年（762）辑成《周易集解》，重视三教合一的易理，能部分保存易学象数。幸有陈抟（872？—989）善继之，以恢复先秦的图书数，且为之重定八卦之次，于易学有划时代的发展。今日深入研究易学与现代自然科学的关系，不可不知陈抟的心得。今当1989年，正陈抟逝世千年，宜借此召开“周易与现代自然科学第一届全国学术讨论会”的机会，以纪念陈抟对易学的伟大贡献。

以下具体考察易学象数与现代数学的关系，拟从几何代数的发展谈起。西方数学重视限于三维的几何，虽当千余年的黑暗时代，教会仍以神秘色彩保存并珍惜五个柏拉图体。及罗巴切夫斯基（1793—1856）于1826年建立非欧几何，格拉斯曼（Grassmann，1809—1877）于1844年正式研究多维的柏拉图体，几何始有划时代的进步。于代数方面伽罗华（Galois，1811—1832）于1830年建立群论，用以证明不可能用根式解高于四次的一般方程式，当其死时尚无一人能理解其精义。准此对几何代数的深入认识，方能产生现代数学。由是多维空间以及无穷维空间，相应于无穷维方程，莫不可加以相象。且几何拓扑化而方圆无辨，然维数未可混。黎曼（Riemann，1826—1866）于1854年更建立黎曼几何，并提出多维拓扑流形的概念，则欧氏几何与非欧几何之辨，已不仅限于平行线的相交问题。继之克莱茵（Klein，1849—1925）于1872年发表“爱尔朗根计划”，把每一种几何学都看成是一种特殊变换群的不变量论。此见几何代数的内容，于解析几何后，又完成了在高一层次的认识论中再次结合。希尔伯特（Hilbert，1862—1943）于1899年出版《几何学基础》，确能总结两千余年来欧氏几何的究竟以进入20世纪。以物理学论，彻底改观牛顿力学的体系，要在普朗克（Planck，1858—1947）于1900年提出量子化假说，及爱因斯坦（Einstein，1879—1955）于1905年提出狭义相对论，首次利用四维时—空连续区以喻其理，然及其卒仅限于开放的四维空间（参阅《相对论的意义》的附录，作于1954年12月）。今究几何结构的原理，整个空间的维数，必比胞腔（cell）空间的维数增一维，则由开放至封闭的空间自然增一维，故卡鲁查（Tb．Kaluza）早已提出闭合五维世界的几何（参阅“Introduetion to the theory of relativity”，Peter Gabriel Bergmann著）。且准量子的概念，当相应于非阿几何（non‐ArchimedeanGeometry），今可作为多维空间的正则坐标，于四维有6种，于五维及五维以上仅有3种，然不可忽视开放与封闭之辨。当年薛学潜先生提出开放的五维，实未可讨论其封闭性，因一谈封闭性就是六维，故沈仲涛先生主张六维，薛先生即不置可否。因维数可无限增加，自五维以上基本相似，要在理解同一维数间的对偶（deal）可增减维数间的关系。至于开放性与封闭性之间的变化，有单侧面、单侧体、单侧四维体等等，则又有半维的形象，另详他文。此文仅从直观几何的方法，观察四维、五维、六维各三图，其间象数的数据，全准西方现代数学的成果，然其具体的数据与中国传统的各种代数数列，包括天干、地支、阴阳、五行等等，可一一对应。故知中国的易学象数，早在考虑“六合之外”的相应关系，宜两千余年来，难免有神秘性。今已有多维空间的概念，殊可打破其神秘性，进一步作科学的研究。下示“五维及五维以上的三种数据表”：

n维空间　n≥5

至于四维空间中的6种类型，亦包括此3种，今特取四维、五维、六维各三图，以示其与中国传统代数数列的相应关系：

1．（n＋1）—胞腔　四维—5胞腔——五行生克、五运

　　　　　　　　 　五维—6胞腔——六爻往来、六气

　　　　　　　　　六维—7胞腔——七蓍变化

2．2n—胞腔　　　 四维—8胞腔——贞悔八卦

　　　　　　　　　五维—10胞腔——天干、河图

　　　　　　　　　六维—12胞腔——地支、十二爻

3．2ⁿ—胞腔 　　　 四维—16胞腔——中爻、互卦

　　　　　　　　　五维—32胞腔——京氏易

　　　　　　　　　六维—64胞腔——皇极经世(www.xing528.com)

其详非此文所可尽。最后论卦与爻的互为对偶。凡卦当2n—胞腔的类型，以六维空间，写成下式：

　　　　　　　　　　　　　　（6—12） 即六维—12胞腔（1）………………………

爻当2ⁿ—胞腔的类型，亦以六维论，写成下式：

　　　　　　　　　　　　　　（6—64） 即六维—64胞腔（2）………………………

此两种六维空间的正则形体当互为对偶，写成下式：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6—12）→（6—64）（3）……………………………

凡对偶之象，维数必相同。如顶点个数同于n－1维边界胞腔的个数为自对偶。如顶点个数同于另一类型的n－1维边界胞腔的个数，而n－1维边界胞腔的个数又同于另一类型的顶点个数，则成互为对偶。今合于易学象数，位数同于维数n，《易》有初、二、三、四、五、上共六位，故当六维空间。

设九、六合于六位为顶点的点数。

七、八合于六位为胞腔中心点的点数。

于六位上加点（·）以分阴阳，指九或六、七或八，即2ⁿ。

于六位上加划（—）以当阴阳二项式的组合数，即2ⁿ。

以（6—12）论：

据（3）式，故（4）→（7）；（5）→（6）。然相互对偶之间，各有两种情况，

其一为（4）→（7）；（7）→（4）。

其二为（5）→（6）；（6）→（5）。

于本空间之间，又有顶点与胞腔中心点之间的变化。设○为顶点的符号，⊙为胞腔中心点的符号，以（6—12）论，（4）式与（5）式间，其变化以下式示之：

于（8）、（9）两式中，亦有向量的不同，一当胞腔中心点至顶点，符号为⊙—○，一当顶点至胞腔中心点，符号为○—⊙。合上诸式以观之，不论为对偶，或仅为本空间之间的变化，凡由胞腔中心点至顶点为增加一维，其象如下：

（4）→（7）；（6）→（5）；（8）、（9）两式中之⊙—○。

由顶点至胞腔中心点为减少一维，其象如下：

（5）→（6）；（7）→（4）；（8）、（9）两式中之○—⊙。

以易理言，增加一维名之曰“出”，减少一维名之曰“入”，《周易》复卦卦辞曰“出入无疾”，义犹维数的变化。且于本空间之间的变化，于易理当动静之变而阴阳不变，即胞腔中心点为静而顶点为动。以数而言，当七与九或八与六之间的变化。而于对偶之间的变化，于易理非但变其动静又将变其阴阳。以数而言，当七与六或九与八之间的变化。综上诸义，以下式示之：

由（10）式，始见因对偶而及出入之变。此一顺逆之循环，是之谓“易简而天下之理得矣”。具体而论，内有维数之不同。易学象数仅以六维论，且包含本空间与对偶空间；以对偶论，又有相互对偶与自对偶的不同；故可喻“天下之赜”。赜与易简，其同乎异乎，凡究易学象数者首当知之，否则其何以见高维空间之形象。