层次分析法在数字图书馆评价中的应用

第一节　层次分析法

层次分析法（analytic hierarchy process，简称AHP），它是由美国著名运筹学家、匹兹堡大学教授T.L Saaty”^［28］在20世纪70年代末期提出的一种新的系统分析方法。它的基本思想是通过分析复杂系统所包含的因素及相关关系，把一个复杂的问题分解成各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而客观上形成多层次的有序的递阶层次结构。按照一定的标度理论，得到其相对重要程度的比较标度，通过每一层次的各要素进行两两比较判断建立判断矩阵，通过计算判断矩阵的最大特征值及其相应的特征向量，得到各层次某要素的重要性次序，从而建立权重向量。确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要的总排序。

层次分析决策方法最大的优点是可以处理定性和定量相结合的问题，可以将决策者的主观判断与经验引入到模型中，并加以量化处理。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，因而它是一种将定性和定量分析相结合的多目标的决策分析方法。故可以选用层次分析法对数字图书馆进行综合评价。

一、层次分析法的步骤

第一步：明确问题，提出总目标。

第二步：建立层次结构，把问题分解成若干层次。第一层次为总目标；中间层可根据问题的性质分成准则层、子准则层等；最低层一般为方案层或措施层。层次的正确划分和各因素间关系的正确描述是层次分析法的关键，需慎重对待。经过充分的讨论和分析，最后画出相应得分层结构图。见图3.1.1。

图3.1.1　层次结构示意图

第三步：求同一层次上的权系数（从高层到低层）。假设当前层次上的因素A₁，…，A_n，相关的上一层准则为C（可以不止一个），则可针对准则C，对所有因素A₁，…，A_n进行两两比较，得到数值a_ij，其定义和解释见“表3.1.1”^{［28］［29］}：

表3.1.1　标度取值参考表

记A＝（a_ij）_n×n，则A为因素A₁，…，A_n相应于上一层准则C的判断矩阵。为方便表述，对判断矩阵给出如下“定义3.1.1”

定义3.1.1^［29］若矩阵A＝（a_ij）_n×n满足

（1）非负性，a_ij＞0，i，j∈｛1，2，…，n｝

（2）互反性，a_ija_ji＝1，i，j∈｛1，2，…，n｝

（3）对角线上元素为1，a_ii＝1，i∈｛1，2，…，n｝则称A为n阶正互反判断矩阵。

记A的最大特征根为λ_max，属于λ_max的标准化的特征向量为ω＝（ω₁，…，ω_n）^T，则ω＝（ω₁，…，ω_n）^T即为因素A₁，…，A_n相应于准则C的按重要程度的排序向量。

第四步：求同一层次上的组合权系数。设当前层次上的因素为A₁，…，A_n相关的上一层因素C₁，…，C_m则对每个C_i，根据第三步的讨论可求得一个权向量

如果已知上一层m个因素的权重分别为a₁，…，a_m），则当前层每个因素的组合权系数为(www.xing528.com)

如此一层层自上而下求解，一直到最低层所有因素的权系数都求出来为止，根据最低层权系数的分布即可给出一个关于各方案优先程度的排序。

第五步：一致性检验。评价者给出的正互反判断矩阵有时会出现不一致现象，因此需要利用一致性指标进行检验，一致性指标C.I定义为

再定义一致性比率

其中R.I为随机一致性指标，T.L Saaty教授给出随机一致性指标R.I的数值列表见“表3.1.2”。

表3.1.2　不同阶的平均随机一致性指标

通过计算一致性比率C.R可以获得正互反判断矩阵一致性的程度。即当C.R＝0时，正互反判断矩阵A具有完全一致性；当C.R≤0.1时，正互反判断矩阵A具有满意一致性；当C.R＞0.1时，A具有非满意一致性，当则应予以调整或舍弃不用。

二、正互反判断矩阵的最大特征根和和标准化的特征向量近似求法^［30］

因为求解正互反判断矩阵的最大特征根和和标准化的特征向量比较麻烦，因此，从实际应用来看，可采用如下两种方法来近似求出最大特征根和和标准化的特征向量。

1.方根法

（1）计算W_i，其中（2）将W_i进行规范化获得标准化的特征向量W_i：

（3）计算最大特征根λ_max：

2.和积法

（1）按列将正互反判断矩阵A规范化，即

（2）计算W_i：

（3）将W_i进行规范化获得标准化的特征向量W_i：

（4）计算最大特征根λ_max：