代数游戏：量子力学透析，结果不容质疑

31.代数游戏

为了使你想起那个你能理解的代数游戏，这里有一个小戏法：

设想一个数；

用3乘它；

加4，然后将所得之结果乘以2；

加10，所得结果除以6；

现在减去你最初设的那个数。

结果是什么？啊，3！

这操作系列已经被巧妙地排列，以致消掉一切而最终留给你的是3，开始的时候你设什么数都无关紧要。真令人惊奇！

回到量子力学，想象一个比我们至今一直处理的更复杂的EPR实验。通常，总自旋为零，一个电子对由某个源产生，并且以独立的方式发送。但是我们现在在每个电子的路径中安装两个不同角度的斯特恩—革拉赫磁铁，我们有一个开关装置，它能随机地发送每一个电子到两个磁铁中的任何一个。

换句话说，这两个电子中每一个的自旋将被其路径上的两个磁铁之一测量，4个磁铁的安置角度各不相同。

为了记录结果，我们用A、B、C和D标记这4个磁铁。磁铁A和B对第一个电子，C和D对第二个电子。当自旋测量被完成时，每一个磁铁都发送沿着这个束或那个束的一个电子：我们以“+1”或“-1”标示其概率（如果我们使用的是一个水平磁铁，例如，我们称+1为“左”而-1为“右”）。如果恰巧第一个电子用磁铁A测量，在指定的束中结果为-1；第二个电子通过磁铁C，在指定的束中结果为+1，那么我们将在实验记录本中记录下：这个特殊实验所产生的结果A＝-1，C＝+1。所有可能的结果都是某些这样的数字对。

总计，我们有A、B、C和D四个数，每一个数值或者是+1或者是-1。现在这里达到了代数学：考虑（正像数学上常说的那样）数X定义为：

X＝（A×C）+（B×C）+（A×D）-（B×D）

如果你选择A、B、C和D的+1和-1的任何可能的组合，你将会发现X的解不是+2就是-2。这是一个我们早已说过的代数戏法的变量，在那里不论我往里放什么，答案都是3；在这里不论你往里放什么（注意对于A、B、C和D我们只能使用+1和-1）答案不是+2就是-2。（见图7）

图7　自然界是否遵从贝耳定理，能藉助爱因斯坦—玻多耳斯基—罗森实验证实，其中每个电子都能发送到这个或那个斯特恩—革拉赫磁铁，以测量它们的自旋。当来自所有四个探测器的结果被收集时，古典物理学和量子物理学预言不同的统计相关。(www.xing528.com)

我们从这里得到什么？我已经构造了一个小代数诀窍，不管我们从那对于每个电子都具有两个不同角度的EPR实验中得出什么结果，它都保证解为+2或-2。

但是且慢：在任何单个实验中，我们只测量四个可能数中的两个，因为我们只能在每一个电子上做一种自旋测量。对于A或B我们得到一个值，它相应于在第一个电子上的自旋测量：对于C或D，我们也得到一个值，它相应于第二个电子。但如果我们完成这样的实验的一个完整系列，以我们随意安置的装置等概率地把每一个电子发送到它们的两个磁铁中的每一个，然后，电子对的所有可能的自旋组合将被测量，并且经由把所有这些测量放在一起，我们能取出一系列实验过程中四个量的X平均值。

现在（这里是代数的第二个小部分）X的平均值等于所有要考虑的部分平均值的总和。在这个实验系列中，某个时刻我们得到A和C的值，某个时刻我们得到B和D的值，等等。如果我们做足够多的实验，所有这些组合每次彼此出现，所以我们能够对你获得的每个组合的结果一并进行平均，并因而得到X的平均值。

但我们也知道X只能是+2或-2。如果你取由+2或-2组成整个数列的平均值，毫无疑问那个平均值必然在+2和-2之间（如果你得到的+2和-2的个数相同，那么平均值将会是零；如果其中一个多于另一个，平均值将偏向于某一方向；但是没有办法能使平均值大于+2或小于-2）。

所以，最后要指出，如果我们完成这个翻版的EPR实验，即在两种可能方向上测量电子对的每个电子的自旋并计算量X的值，那么它的值必然是在+2或-2之间的某个数。这就是众所周知的贝耳定理。这个结果得自代数规则，而没有其他什么来源。唯一的问题是并非当然如此。

特别是，量子力学预言X的平均值不必在+2到-2的范围内。仅仅由于4个斯特恩—革拉赫磁铁的安装角度，量子力学预言的X值就可以是2倍的根号2，接近于3。

这是一个奇怪的似乎不可理解的结果。不容置疑的是，A、B、C和D这四个数只能取值为+1或-1，按照贝耳定理所要做的只是简单的加、乘和平均——在高等数学领域中未必是可疑的程序。结果好像是不可避免，然而量子力学则否认它。贝耳完全知道矛盾是存在的，并且它正是这个定理的特征。他的见识在于体会这个矛盾能向你揭示量子力学运作的某些有趣的东西。

矛盾怎么会发生呢？如果量子力学是正确的，那么这意味着算术定律在量子宇宙中是不正当的吗？这似乎是不太可能的，并且深入研究有关贝耳定理的争论还如此之少，以至难于看破我们可能一直在走向错误。

然而，有一部分程序你已经发现了一点问题：量X是所有的数A、B、C和D的一种组合，而作为一个实际的问题，任何单一的实验仅能产生四个值中的两个，另外两个因而是未知的，它们对应于没有被测量的两个自旋方向。为了得到贝耳定理，我们假设，即使我们不知道两个未知自旋的测量值，我们仍然能够用定义的等式处理它们，好像它们的值不是+1就是-1。这毕竟是任何一个自旋测量的仅有的两种可能的结果。

正如尼耳斯·玻尔近期以来所告诉我们的那样，一个未被测量的量是一个无意义的东西。请把你的心力转回到EPR初始的建议，在那里爱因斯坦想证明，通过对于粒子对中的一个粒子的测量能够测定另一个粒子的位置和动量两者，而且是对这个粒子没有干扰以任意精度地测量。对于爱因斯坦来说，这意味着位置和动量两者都是真实的客观的量（在他的惯用语中称为“物理实在要素”），其乘积原则上能定义得如你所愿的那样精确，因而与测不准原理矛盾。事实上玻尔的答辩是，你不能根据一个单一的实验准确地推知粒子的位置和动量两者，你只能选择其中一个，丧失另一个的知识。实际上这意味着，就你能合法地测量的对象来说，测不准原理被原封不动地保持。

不同之处在于，爱因斯坦希望以简单的即使是抽象的方式组合两个独立的测量结果，而玻尔则坚持计入其中的只能是你在单一的可行的实验中没矛盾地测量的那些量。

长期以来，这似乎像是一种空虚的或许不过是语义的争论。贝耳定理的重要性在于它将争论定量化。按照爱因斯坦的逻辑，把已经记录下的A、B、C和D所有的独立值一起组合在X的平均值里是完全可允许的，即使它们在许多不同的实验中得到。那么贝耳定理必定有效。

如果你承认量子力学预言一个不遵从贝耳定理的答案，那么出路在于遵循玻尔，因为你承认你可以不必把那些不独立的和矛盾的实验中所能测量的那些量组合在一起。为了更有效地陈述这个观点，你不必相信，你没有测量的两个自旋测量值能够认为不是+1就是-1，即使你知道这些值是你实做这些测量所能得到的唯一的可能值。换句话说，你不能认为一个未测量的自旋不是+1就是-1；这个数确实是不确定的，而不只是未知的。除非你已经实际地测量了它，否则它全然不是任何数字。

从根本上说，这是出现在1936年的那个旧的争论，那时EPR论文已经被发表。贝耳把这个争论作为实在性的争论——更精确地说，人们关于实在所能做的合法推论的性质——转变为能够实验检验的某种东西。