向量在几何研究中的突出优势

论向量在几何研究中的优势

杨在荣　屈红萍

摘　要:几何代数化已经成为现代几何研究的发展方向，向量是几何代数化的重要组成部分。本文论述了向量在几何研究中四个方面的优势:向量运算具有简洁性，向量解几何问题的基本法则简练明朗，用向量研究几何可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，向量拓宽了研究和解决几何问题的思维空间。

关键词:向量　几何　研究　优势

向量的学习始于物理，利用力作为向量的模型，用实验的方法研究求两力合力的平行四边形法则，而后又用位移作为向量的模型得到了向量加法的三角形法则。在数学中，长期以来向量仅作为空间解析几何的基础知识来学习，甚至在20世纪80年代向量都还披着神秘的面纱。近几年来，向量在数学中的应用得到重视和发展，已经涉及更为广泛的其他数学知识和学科，特别是几何。几何代数化已经成为现代几何研究的发展方向，向量具有几何与代数双重属性，是几何代数化的重要组成部分，在几何研究中体现出了它特有的优势。

一、向量运算的简洁性

众所周知，几何命题的解证难就难在灵活性大、技巧性强，常常需要灵机一动。特别是当人们发现了行星绕地球旋转的轨道为椭圆、抛出去的石子经过的路线为抛物线之后，仅用综合几何的方法来研究几何是不行了。以笛卡儿为代表所创建的坐标几何，实现了几何代数化，使几何能够用代数的方法来研究。但是，人们同时也感到运算的烦琐，而向量不仅能够实现几何代数化，而且在“以算代证”过程中具有运算简洁的优势。

例1(三角形重心定理):三角形的三条中线相交于一点，并且这点分各中线的线段比为2∶1。

图1

证明:

设中线BE和CF相交于点G，D为BC的中点(图1)，则

由平面向量基本定理得:

所以A、G、D共线，于是三中线AD、BE、CF共线，且点G分三中线线段比为2∶1。

例2:已知E和F分别为平行四边形ABCD的边AD和BC上的点，且AE= BF，G是AF和BE的交点，H是CE和DF的交点。求证: GH//BC，GH=。

图2

证明:，从而，由平面向量基本定理得，G为BE中点。同理，H为CE的中点，所以，GH//BC，GH= BC。

二、向量法解几何题的基本法则简练明朗

应用综合几何的方法解几何问题要用到许多公理和定理，而用向量解几何问题的基本法则仅有4条，这从根本上体现了向量法简练明朗的优势。→→

法则1:首尾相接法则。即向量加法的三角形法则─AB+─

BC=─A^→_C，推广到有限多个向量时即为向量加法的多边形法则。

法则2:数乘向量的意义和运算律^→。^→ 3::─e，─e

法则平面向量基本定理设12是平面上两个不共线向量，则平面上任意向量^→_a都可以表示成^→_a=λ^→─e+μ^→─e，且λ，12μ由^→_a和^→─e１，^→─e２唯一确定。

从平面向量基本定理可以立即得到如下推论:如果^→_a+^→ b=→ c+^→ d，且^→_a和→_c共线，^→_b和^→_d共线，但^→_a和^→_b不共线，那么^→_a=→_c，^→_b=^→ d。

法则4:向量内积的意义和运算律。特别是两向量垂直的充要条件，即向量^→_a和→_b垂直的充要条件为^→_a·→_b=0。

法则1和法则3主要应用于涉及包含关系和位置关系等仿射性质，涉及的几何量只是在平行或共线的线段比的范围。

例3(塞瓦定理):如图3，AD、BE相交于G，若CG的延长线交AB于F，则= 1。

证明:

设则=(1+)。

图3

整理得:

由平面向量基本定理得:

整理得:

从而u(1+ v)=

所以uvw= 1

如果涉及度量几何，即涉及长度、角度大小及垂直，或者涉及不平行线段的比值等，则用向量的模和法则4解决。(www.xing528.com)

例4(射影定理):在△ABC中，AB⊥BC，BD⊥AC。求证: AB²=AD·AC，BC²=CD·CA，BD²=DA·DC(图4)。

图4

证明:

同理

例5:在正三角形ABC中，D、E分别为AB、BC的三等分点，AE，CD相交于点P。求证: BP⊥DC(图5)。

图5

证明:

从而得:

由平面向量基本定理得:

即

从而得:

所以BP⊥DC。

用向量解几何问题时，向量形式的定比分点公式是一个重要工具，如图6中: P₁P=λPP₂(λ≠－1)，则OP=。

图6

例6(梅涅劳斯定理):设直线l与△ABC的三边AB、BC、CA(或延长线)分别交于D、E、F且不过三角形的顶点，则=－1(图7)。

图7

证明:

三、用向量研究几何可以实现形象思维与抽象思维的有机结合

几何图形直观形象，正如笛卡儿所说，“没有什么比几何图形更容易印入人的脑际了”;代数抽象严谨。向量具有几何与代数的双重身份，用向量可以实现形象思维与抽象思维的有机结合。这在所有用向量研究几何问题的过程中都得到体现。在此，仅举一例加以说明。

例7:用向量法证明余弦定理。

证明:

在△ABC中，设─B^→_C=^→ a，─C^→_A=^→ b，─A^→_B=→ c，且设→a= a，→b= b，→c= c，则^→_a+^→ b+^→ c=0，^→_a=－(^→_b+→ c)，从而^→_a2=^→ b²+→ c²+ 2^→_b·→_c=→ b²+→ c²+ 2^→ b^→ccos(π－A)。即a²= b²+ c²－2bc cos A。

再如，在用坐标法研究几何问题时，经常先通过向量，得出向量形式的结果后再转化成坐标形式，这实际上也是向量的这个优势的体现。

四、向量拓宽了研究和解决几何问题的思维空间

向量代数提供了一种有别于数域的新的代数结构，它不仅揭示了知识之间的联系，而且拓宽了研究和解决几何问题的思维空间。

例8: P为⊙O: x²+ y²=4上任意一点，l为过P的切线，A(－1，0)，B(1，0)，A与A'关于l对称，求A'B的最大值(图8)。

图8

解:

设AA'交l于Q，连接OP、OQ，则OQ//A'B且A'B= 2OQ，又AQ⊥l，OP⊥l，所以AQ//OP。设A^→_Q=λ─O^→_P(λ＞0)，则─P^→Q=P^→_O+─O^→_A+─A^→_Q= ─P^→_O+─O^→_A+λ─O^→_P=(λ－1) ─O^→_P+─O^→_A，又─O^→_P·─P^→_Q=0，即─O^→_P·[(λ－1) ─O^→_P+─O^→_A]=─O^→_P²(λ－1)+─O^→_P·─O^→_A= 4(λ－1)+ ─O^→_P·─O^→_A= 0，从而─O^→_P·─O^→_A= 4(1－λ)，又─_O→_Q=─O^→_A+─A^→_Q=─O^→_A+λ─O^→_P，所以─_O→_Q²=─O^→_A²+λ─O^→_P²+2λ─O^→_P·─O^→_A= 1+ 4λ²+8λ(1－λ)=－4(λ－1)²+5。

所以，当λ=1时，OQ最大值为√5，即A'B的最大值为2√ 5。

参考文献:

［1］张景中，彭翕成.论向量法解几何问题的基本思路［J］.数学教学，2008(1).

［2］陈振宣.向量面面观［J］.数学教学，2008(5).