论数学美的特征-探索与创新

论数学美的特征

杨艳丽　王景艳

摘　要:数学和美学有着内在的联系。本文讨论了数学美的特征，以帮助我们更好地赏析数学美。

关键词:数学美　简洁　对称　统一　奇异

美的事物，总是为人们乐意醉心追求的。一提到美，人们就容易想到“江山如此多娇”的自然美，抑或是悦目的图画、动听的乐章、精妙的诗文这些艺术美;一提到数学，人们联想到的往往是概念枯燥、内容乏味，很多学生对其缺乏兴趣，甚至害怕学数学。然而，数学，这自然科学里的皇后，蕴涵着比诗画更美丽的境界。正如古希腊数学家普洛克拉斯的一句颇打动人心的名言所说:“哪里有数，哪里就有美。”英国著名的哲学家、数学家罗素说过:数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且具有至高的美。

数学美的内容非常丰富，贯穿于整个数学学科中的方方面面。本文就数学美的含义及表现形式作简单论述，以帮助我们更好地赏析数学美。

一、数学美的含义

美是客观事物的一种自然属性，徐利治教授提出:“作为科学语言的数学，具有一般语言文学和艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。”数学美来源于生产实践，反映自然界在数量关系与空间形式上目的性和规律性的和谐统一。它表现出人们在实践活动中对数学规律、内涵与结果发现和理解时产生的愉悦、兴奋等强烈的感受。它是科学的本质力量的感性与理性的显现，是发现真理、反映客观世界并能动地改造世界的一种科学美。数学美是客观真实的，它存在于数学对象中，是一种理性美、智慧美，具有最纯净的思辨特征，在理性的高层次显示了创造的本质力量。

二、数学的特征

数学美的形式有两个层次，即外在层次(外形式)与内在层次(内形式)。按这两个层次，可以把数学美分为形态美和内在美。所谓外在形式是指数学的内容的外部表现形态，即在数学理论、图形之中或者数学理论和图形的相互关系之中，表现这些关系的前提和公式所呈现出来的简单、整齐、对称、和谐的美。数学美的内在形式是指数学美的内容诸要素的内部组织结构，即不同的事物在本质上表现出的一致性;看起来无关的事物间深刻的联系;极其复杂的运算结果为一个最简单原始的数，等等。由此萌生一种快乐美好的感情，这种美感就称为内在美。数学美的特征是:客观性、主观性、社会性、理性，这些特征主要通过简洁性、对称性、统一性与奇异性等形式表现出来。

(一)数学的简洁美

罗素说:什么是数学?数学就是符号加逻辑。数学的简洁美是指数学美在数学的语言简洁、符号简洁、逻辑简洁中的反映。数学以高度抽象、极其简洁的形式和思想反映了客观世界，在杂乱无章的客观现象中，抽象出来的数学理论，用简单、清晰的数学形式来表达，反过来再去解释、处理更多的客观事物和现象。

数学中的公式、法则、定理等，用精练、简单的语言和符号，高度概括现实世界中量的关系的结构。如“负负得正”、“对顶角相等”、“实数集不可数”等等，每一句只有几个字，但包含的数学事实相当丰富。平日生活中，没有多少人身上带着几万元甚至几百万元的钞票在大街上走来走去，而是带着一张银行卡，只需记着由0、1、2……9中几个数字组成的密码就行，就这么简单。

简洁美并非单薄、初等、低级，而是用简单的原理、公式概括大量复杂的事实，这样的简单就显得深远，且充分显示出科学理论之美。

(二)数学的对称美

“对称”一词，译自希腊语，其含义是“和谐”、“美观”，原意是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。“为什么把车轮做成圆的?”这个有趣的问题就体现出数学的对称美。对称美，是指组成某种事物或对象的两个部分的对等性。几何图形的对称美是对数学对称美最通俗、直观的解释。宇宙空间，具有奇妙对称性的物体比比皆是。从古希腊时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本内容。数学家毕达哥拉斯曾经说过:“一切平面图形中最美的是圆形，一切立体图形中最美的是球形。”因为这两种形体在各个方面都是对称的，几何中的正多边形、正多面体、旋转体、圆锥曲线，代数中的多项式、方程、虚根的成对出现、线性方程组的矩阵表示、克莱姆法则和杨辉三角形等都具有对称性。(www.xing528.com)

在数学的发展中，由于对称性因素和对称美的考虑而引出的新概念与新理论更是不胜枚举，如代数与微积分中的种种逆运算的建立，均可视为对称美的追求与实际需要相结合的产物，如:加法—减法、乘法—除法、微分—积分、正数—负数、有理数—无理数、整数—分数、实数—虚数、乘方—开方、指数—对数。数学中不少概念与运算都是由人们对“对称”问题的探讨派生出来的，数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可看成启迪人们思维、研究问题的方法。

(三)数学的统一美

数学的统一美是指数学美在数学的统一基础、统一结构、统一方法上的反映，它既是数学结构美的重要标志，又是数学研究的一个大方向。数学中一些表面上看来不相同的概念、定理、法则，在一定的条件下可以处在一个统一体中。

数学发展到现在，已形成了庞大复杂的体系，但是，这个体系有共同的理论基础——集合论。在集合论建立以后，代数中的“运算”、几何中的“变换”、分析中的“函数”这三个不同领域的概念，可以统一于“映射”概念之中。在数学方法的运用上，也显示出数学结构的统一性，许多不同类型的问题可以用统一的思想方法来解决。如“化归法”就是一个统一的思想方法，在立体几何中，就常常利用化归思想，将立体几何的问题划归为平面几何的问题来解决。

我们这里说的统一，是辩证的统一、矛盾的统一、有机的统一。数学大师希尔伯特认为数学的有机统一，是这门学科的固有特点，因为它是一切精确科学的基础。

(四)数学的奇异美

“异”是指规律的奇妙、方法的奇巧或结果的出人预料。数学奇异性的特征，正好迎合了人们在艺术欣赏与科学探索中，求新、求奇、求异的心理意向。“天有多高?”“石头为什么会从天上落下来?”这样的问题，纯粹出于好奇、求知的欲望。由于好奇心、求知欲而创造、欣赏进而满足，这是一条从科学通向美的道路。

数学上的许多发现是令人惊奇的，代数与几何曾被认为是平行发展的，几何与代数相比处于支配地位。而17世纪竟发现两者是密切联系在一起的，研究了数千年的漂亮的圆锥曲线竟被一个简单的二次方程——Ax²+ Bxy+ Cy²+ Dx+ Ey+ F= 0包罗无遗。哥德巴赫猜想激励着人们不断去探索或研究，它的证明将会给人带来无尽的惊奇、无穷的乐趣;数学史上的许多高峰也正等待人们去攀登，山越高，路才越奇，越奇才有越美的发现，也正如此，有人说陈景润的证明也许要等上百年才能发现它们的伟大、实用之处。曾有学生感叹数学的无味与枯燥，或许是因为数学美对于不同的对象有相对不同的感受。司空见惯者不会有新奇感，全然不知其然，亦不知其所以然，也更不会体验到思维的乐趣。就比如给一个圆形“○”，有人说它是鸡蛋，有人说它是月亮，也有人说就只是一个圆……不同的角度，不同的理解，不同的感悟。也正因为如此，在数学的教学过程中教师应该针对学生的情况，有所预料，有所设计，从学生的角度出发，为他们着想，给学生以惊奇，提高其学习动机与兴趣，让学生欣赏着数学的奇异、趣味，领悟它的和谐、它的简洁，享受它带给我们的乐趣。

三、结　语

对于数学美的追求，归根到底是对数学真理的追求。数学美是形式与内容的有机统一，而数学的本质是真与美的完整统一。真与美从两个不同的侧面刻画数学，准确地反映数学的本质和规律是数学的真的一面，生动地表现人们的创造力和科学地认识数学是数学的美的一面。在数学中，数学美的各个基本特征既互相依存，又彼此竞争。正是因为有这种既竞争又依存的辩证统一关系的存在，才推动数学体系不断由不成熟走向成熟，由不完美走向完美。

参考文献:

［1］徐利治.数学美与数学教学中的审美［J］.山东教育，1999(12).

［2］冷小林.美在数学中［J］.四川教育学院学报，2007(12).

［3］张丽娟.“数学美”浅析［J］.安徽电子信息职业技术学院学报，2004(4).