数学史里程碑：毕达哥拉斯与科学家相约

数学史上的里程碑

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前560～前480年），古希腊数学家，在天文学、哲学及音乐理论方面也有很深造诣。

毕达哥拉斯出生于爱琴海上的萨摩斯岛。早年多方游历，曾到达埃及、巴比伦等地，师从许多数学家学习数学、天文学知识。回到家乡后，毕达哥拉斯开始招收弟子，聚众讲学。大约在公元前520年，毕达哥拉斯不满于当政者的暴政，离开家乡，迁往意大利南部的一个小岛，并在那里定居下来。当时同他在一起的只有他的母亲和惟一的一名门徒。在小岛上安顿下之后，毕达哥拉斯重新开始广收门徒，逐渐创立了著名的毕达哥拉斯学院。那是一个融宗教、政治、学术研究于一体的秘密组织，许多群众包括妇女和上层人士也积极参加活动，在当时形成一种空前的学术氛围，为毕达哥拉斯学派在各个领域的学术研究创造了良好的外部环境。

毕达哥拉斯学派的信徒一部分是普通听众，他们只是听讲教义，而没有资格接受高深的知识；另一部分成员则是在经过长期的训练和严格考核后成为属于毕达哥拉斯学派的真正弟子。他们要发誓坚持学派的信仰，严守学派的秘密。毕达哥拉斯学派在这一点上很像普通的宗教组织，但与它们不同的是他们将数学纳入他们的教义之中，认为世界上的一切事物都是由数来构成的，上帝用数来统治世界。“万物皆数”的思想根深蒂固，这也为毕达哥拉斯学派能在数学研究上取得一系列重要成果提供了思想上的条件。

毕达哥拉斯学派对数作了许多深入的研究，比如他们认识到数与音乐的关系、数与几何图形的关系、数与天体运行的关系等等，并把学员的课程分为四个部分：算术——研究数的绝对理论；音乐—研究数的应用；几何—研究静止的量；天文—研究运动的量，合称为“四道”。

尽管毕达哥拉斯学派赋予数以神秘的色彩，他们在数的研究方面还是做出了许多卓越的贡献。例如完全数（如果一个数等于除它本身以外的全部因子的和，那么这样的数就称为完全数）的发现，他们发现6和28是完全数，因为6=1+2+3；28=1+2+4+7+14。由毕达哥拉斯学派开创的完全数的研究，至今仍是数论领域的重要课题。

毕达哥拉斯还发现了另一类特殊的数——亲和数，他发现284这个数除它本身以外的所有因子之和等于220，而220除了它本身以外的所有因子的和恰好等于284，即：

220=1+2+4+71+142，

284=1+2+4+5+10+22+44+55+110(www.xing528.com)

毕达哥拉斯将它们称为亲和数，并把它们作为友谊的象征。

毕达哥拉斯定理的发现和证明是毕达哥拉斯学派最重要的数学成就之一，在我国一般称之为勾股定理。我们知道最初的几何学兴起于生产生活实际需要，比如土地丈量等活动。勾股定理作为几何学中的一个重要内容，也是源于测量土地等活动。事实上，人们在1945年通过研究美索不达米亚出土的泥版书，发现早在毕达哥拉斯之前一千多年的古巴比伦人就已经知道了这个定理，我国和印度早于毕达哥拉斯年代的数学著作中对这一定理的内容也有所叙述，但都没有像毕达哥拉斯那样给出定理的严格证明。或许这也是世界数学界将它称为毕达哥拉斯定理，并把它视为一个“数学史上的里程碑”的原因吧！

毕达哥拉斯断言：“在任何直角三角形中，斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和”，即给出了勾股定理的一般表述。他还发现了用三个整数表示直角三角形边长的一种公式，也就是不定方程x²+y²=z²的一组解：2n+1，2n²+2n分别是两个直角边，2n²+2n+1是斜边，其实它们只是在斜边与一直角边之差为1时的一组整数解，而非方程的全部解。人们将满足以上方程的正整数称为毕达哥拉斯数或勾股数。

毕达哥拉斯以a，b，c为直角三角形的两直角边和斜边，作边长为a+b的正方形，然后将边长为a+b的正方形作两种不同的分割，采用等量相减的方法对定理进行了证明。

事实上，毕达哥拉斯定理是数学领域内证明方法最多的定理，1940年E.S.卢米斯（Loomis）在他的著作《毕达哥拉斯定理》（The Pythagorean Proposition）中收集的毕达哥拉斯定理的证明方法达370种之多！

毕达哥拉斯学派的最重要贡献还在于他们发现了无理数。根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形的对角线长度应为而是不能用当时他们所知道的数（自然数和分数）来表示的。于是他们感到惶恐不安，因为这违背了他们“万物均可用数来表示”的信条，他们甚至将发现这一数的门徒希帕索斯投进大海，以掩盖发现了不可度量的数这一秘密。无理数的发现终于导致了数学史上的第一次数学危机，然而真理永远是无法被抹杀的，人们最终还是承认了无理数的存在，使得数系完成了从有理数到实数的扩张。

值得说明的是，虽然我们现在将许多数学发现全部归功于毕达哥拉斯，但事实上或许并非如此。因为当时毕达哥拉斯是通过口传心授的方式进行教学的，而他的学生又按照学派的规矩将一切发现都归功于他们崇拜的领袖。具体事实已无据可查，所以现在很难分辨哪些数学成就是毕达哥拉斯本人所创，哪些是他的门徒们的功绩。