宋代的数学成就：诗说中国•4

第51章　宋代的数学成就

求一乘歌诀

杨辉

五六七八九，

倍之数不走。

二三须当半，

遇四两折扭。

倍折本从法，

实即反其有。

用加以代乘，

斯数足可守。

杨辉（1127～1279）南宋数学家和数学教育家。字谦光，钱塘（今杭州）人。著有《杨辉算法》等。(www.xing528.com)

【注释】

法：指乘数。

实：指被乘数。人们发现，当乘数或除数最高位是1时，运算可用加，减法代替，例如一个数a乘以17：17a=10a+7a由于用10（或其幂）乘以一个数仅需移动个位所在位置而无需实际运算，只要算出7a与之相加即可。这样把乘数最高位化为1就成为“捷法”的重要步骤。“五六七八九，倍之数不走，二三须当半，遇四两折扭。”即若最高位原为5、6、7、8、9，只需用2乘即可化为1，若为2、3则需用2除，若为4则用2除两次。“倍折本从法，实即反其有，用加以代乘，斯数足可守。”即当乘数同某数乘时，被乘数需作相应的逆运算，以保证运算的等值。然后用加法来代乘法，仍与原值相等。

此诗描写的是古代数学史上的一个乘法口诀。宋朝时期，我国的数学方面发展迅速，北宋时的贾宪，南宋的杨辉、秦九韶，都取得了很高的成就。

贾宪三角

贾宪，中国北宋著名的数学家，生卒年和籍贯不详。贾宪总结《九章算术》以来的开方程序，提出文成释锁法，即借助一张数表进行开方的方法，并创造“开方作法本源”（今称贾宪三角），作为其立成。贾宪三角是将0到6次的二次式展开式的系数，自上而下排成的三角形。贾宪三角后来还成为解决垛积问题的工具。中亚的卡西于明宣宗宣德二年（1427），欧洲在清世祖顺治十一年（1654）由法国数学家B·帕斯卡重新发现，西方称之为“帕斯卡三角形”，贾宪最突出的贡献是创造增乘开方法，以随乘随加代替一次使用贾宪三角的系数计算减根方程，比立成释锁法简捷、整齐，更具程序性，并列出了开二次方、三次方、四次方的开方图。这种方法后来被南宋秦九韶等发展为求高次方程正根的正负开方术，成为宋元数学最发达的一个分支。后来中亚也创造了同类的方法。而在欧洲，直到19世纪初才先后由意大利数学家鲁菲尼和英国的霍纳创造出来。

杨辉及其在数学上的伟大贡献

杨辉的大多数著作是对古代数学著作的搜集与整理。他的《详解九章算法》一书，在《九章》246问中选取80问进行详解，在《九章》九卷之外增设了图、乘除算法、纂类各一卷，可惜图与乘除两卷均已失传，其他各卷也大多残缺不全。他对《九章》的详解分为三项：一是解题（题意、各词术语、校勘、对题目的评论等）；二是细草（图解及算草）；三是比类（选取新的例题与《九章》原题解法进行对比分析）。其“纂类”则是将《九章》246问按由浅入深的顺序重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。在“纂类”中载有“贾宪立成释锁平方法”、“增乘（开立）方法”，为中国传统数学保存了极为珍贵的资料。《日用算法》是一部通俗的实用算书，包括13首数学歌诀，66个问题，已失传。《乘除通变本末》三卷，上卷叫《算法通变本末》，论乘除算法；中卷叫《乘除通变算宝》，论加减、求一、九归诸术；下卷叫《法算取用本末》，是中卷的注释。《田亩比类乘除捷法》上卷内容是《详解九章算法》方田章的延申更切合实际，下卷主要是对《五曹算经》的批评及对刘益《议古根源》的介绍与阐发，后者全靠杨辉的引述者得以部分保存至今。《续古摘奇算法》是杨辉搜集“诸家算法奇题及旧刊遗忘之文”编辑成书，更是保存了许多珍贵史料，卷上论纵横图，卷下说《海岛》都有很高的科学价值。

秦九韶与《数书九章》

秦九韶（1202～1261），字道古，自称鲁郡人（或说为秦凤间人，安岳人）。他的父亲秦季栖曾任四川巴州太守，工部部中、秘书少监、四川潼川府知府等职。大约在金兴定二年（1219），秦九韶跟随在南宋都城临安（今杭州）任职的父亲生活，受到良好的教育。元壬寅三年（1244），秦九韶以通直郎为建康府（今南京）通判，当年冬因母丧回湖州守孝，这一时期，他专心于数学研究，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，完成了中国数学史上的划时代杰作《数书九章》。并创造了“大衍术一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中也起到了重要作用。他的《数书九章》，全书约20万字，收入81题，分为九类：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅和市易。在内容上颇多创新，在数的理论与计算方面，有对自然数、分数、小数、正负数的专条论述，最大公约数与最小公倍数的求法与运用，各种复杂的比例问题，一次同余式组解法（即著名的大衍术）；在几何领域有著名的三斜求积公式。同时在代数方面也有很深的造诣。此外，书中还有大量内容反映了南宋社会经济、文化、生活、科学、技术等各侧面，有极高的科学价值和史料价值。秦九韶的“大衍术一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才。”他的任意次方程的数值领先霍纳572年。秦九韶以他的杰出成就，被美国科学史家萨顿（G.Sarton，1884～1956）誉为“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”