科学发现的普遍性与精确度

还有其他的方法论要求，可以还原为对最大可能的经验内容的要求。其中两个要求是突出的：对可能达到的最高水平（或程度）的普遍性的要求，和对可能达到的最高精确度的要求。

考虑到这些要求，我们来考察下列可设想的自然律：

p：所有在封闭轨道中运行的天体作圆形运动，或者更简洁地说，所有天体轨道是圆。

q：所有行星轨道是圆。

r：所有天体轨道是椭圆。

s：所有行星轨道是椭圆。

在这四个陈述中存在的可推导性关系在我的图中用箭头表示。从p可以得出所有其他的陈述，从q可以得出s，s也可从r得出；所以s可以从所有其他陈述得出。(www.xing528.com)

从p移动到q，普遍性程度减少，q表达的比p少，因为行星轨道形成天体轨道的一个真子类。因此，p比q更易于被证伪：如q被证伪，p也被证伪，但是反之不然。从p移动到r，（谓语的）精确度减少：圆是椭圆的其子类；如r被证伪，p也被证伪，但是反之不然。相应的话可以应用到其他的移动上：从p移动到s，普遍性程度和精确度二者都减少；从q到s，精确度减少；而从r到s，普遍性程度减少。和较高程度的普遍性或精确度相对应的是较大的（逻辑的，或）经验的内容，因而有较高的可证伪度。

全称陈述和单称陈述二者都可以写成“全称条件陈述”的形式（或者经常称作“一般蕴涵”）。假如我们把我们的四个定律写成这个形式，那么我们也许能更容易和更准确地看到两个陈述的普遍性程度和精确度是如何进行比较的。

全称条件陈述（参看第14节注）可以写成下列形式：‘（x）（φx→fx）’，或者读为：“所有x的值，满足陈述函项φx的，也满足陈述函项fx”。我们的图中的陈述s产生下列例子：“（x）（x是一颗行星的轨道→x是一个椭圆）”的意思是：“不论x是什么，如果x是一颗行星的轨道，则x是一个椭圆”。设p和q是写成这种“标准”形式的两个陈述；那么我们可以说，p比q有着更大的普遍性，如果p的前件陈述函项（可以用‘φpx’来表示）是重言地蕴含于（或可合乎逻辑地推导于），但是不等同于q的相应的陈述函项（可以用‘φqx’来表示）；或换言之，如果‘（x）φqx→φpx’是重言的（或逻辑上真的）。同样，我们说，p比q有着更大的精确性，如果‘（x）（fpx→fqx）’是重言的。即如果p的谓词（或者后件陈述函项）比q的谓词更窄，这就意味着：p的谓词衍推q的谓词。

这个定义可以推广到有着不止一个变量的陈述函项中。基本的逻辑变换从它导致我们已断言过的可推导性关系，这种关系可以用下列规则来表示：如果两个陈述的普遍性和精确性都是可比的，那么，较不普遍或较不精确的陈述可以从较普遍或较精确的陈述中推导出来；当然，除非一个更普遍而另一个更精确（如在我的图中q和r的情况）。

现在我们可以说，我们的方法论决定——有时被形而上学地解释成因果性原理——应不让任何事情得不到解释，即总是试图从其他具有更高普遍性的陈述中推导出陈述来。这个决定是从可达到的最高普遍性程度和精确度的要求中推导出来的，而这个要求可以还原成这样的要求或规则：应该选择能经受最严格检验的理论。